Философия математики Л. Витгенштейна Петюшко А. А., аспирант 1 г о. кафедры (стр. 5 из 11)

5. Отказ от различных бесконечных мощностей: учитывая, что не существует бесконечных математических экстенций, Витгенштейн отвергает стандартную интерпретацию дигонального доказательства Кантора как доказательство существования бесконечных множеств как более, так и менее мощных.

Т.к. мы изобретаем математику в ее целостности, мы не исследуем предсуществующие математические объекты или факты, или что математические объекты имеют определенные свойства, т.к. «человек не может найти какую-либо связь между частями математики или логики, которая уже существовала без знания человека о ней» (PG 481). Рассматривая математику как чисто человеческое изобретение, Витгенштейн пытается определить, что именно мы придумали и именно почему, по его мнению, мы ошибочно думаем что существуют бесконечные математические экстенции.

Если, для начала, мы рассмотрим то, что мы придумали, мы увидим, что наше изобретение – формальные исчисления, состоящие из конечных экстенций и интенциональных правил. Если, что еще более важно, мы попытаемся определить, почему мы верим, что бесконечные математические экстенции существуют (например, почему мы верим, что актуальная бесконечность присуща математике), мы увидим, что мы объединяем математические интенции и математические экстенции, ошибочно полагая, что есть «дуализм» «закона и бесконечного ряда, подчиняющегося ему» (PR §180). Например, мы думаем, что т.к. действительное число «представляется бесконечным числом разрядов десятичной дроби» (PR §186), это есть «общность» (WVC 81-82, Ft. #1), когда на самом деле «иррациональное число – это не экстенция бесконечной десятичной дроби... это закон» (PR §181), который «порождает экстенции» (PR §186). Закон и список принципиально различны, ни один из них не может «дать» того, что может другой (WVC 102-103). Действительно, «ошибка в теоретико-множественном подходе состоит во времени и опять в трактовке законов и перечислений (списков) как существенно похожих вещей» (PG 461).

Тесно связан с этим объединением интенций и экстенций тот факт, что мы ошибочно трактуем слово «бесконечный» в качестве «слова, обозначающего число», т.к. в обычном рассуждении мы отвечаем на вопрос «как много» и так, и так (PG 463; cf. PR §142). Но ««бесконечный» - это не количество», настаивает Витгенштейн (WVC 228); слово «бесконечный» и слово, обозначающее число навроде «пяти», имеют разный синтаксис. Слова «конечный» и «бесконечный» не работают как прилагательные для слов «класс» или «множество» (WVC 228), т.к. выражения «конечный класс» и «бесконечный класс» используют слово «класс» совершенно по-разному. Бесконечный класс – это рекурсивное правило «индукции», в связи с чем символ конечного класса – это список или экстенция (PG 461). Все этого из-за того, что индукция имеет много общего с множественностью конечного класса, которое мы по ошибке называем бесконечным классом (PR §158).

В итоге, т.к. математическая экстенция – это всегда конечная последовательность символов, бесконечная математическая экстенция – это противоречие в терминах. Это – основа финитизма Витгенштейна. Т.о., когда мы говорим, например, что «есть бесконечно много четных чисел», мы не говорим «есть бесконечное число четных чисел» в том же смысле, в котором мы можем сказать «в этом доме есть 27 человек»; бесконечный ряд натуральных чисел есть ни что иное как «бесконечная возможность конечного ряда чисел» - «это бессмысленно говорить о целом бесконечном ряде, как если бы он был экстенцией» (PR §144). Бесконечность понимается правильно, если оно понимается не как количество, а как «бесконечная возможность» (PR §138).

Учитывая отказ от бесконечных математических экстенций, Витгенштейн принимает конечные, конструктивные взгляды на математическую кванторизацию, математическую разрешимость, природу действительных чисел, и диагональное доказательство Кантора существования бесконечных множеств больших мощностей.

Т.к. математическое множество – это конечная экстенция, мы не можем значимо навешивать кванторы над бесконечной математической областью определения, просто потому, что не существует такой вещи как бесконечная математическая область (например, общность, множество) и, как следствие, нет таких вещей как бесконечные конъюнкции или дизъюнкции [(Moore 1955, 2-3); cf. (AWL 6) и (PG 281)].

По-прежнему, все сейчас выглядит так, что кванторы не имеют смысла для чисел. Я имею в виду: вы не можете сказать ‘(n) φn’ именно потому, что «все натуральные числа» - это неограниченная идея. Поэтому никто не должен говорить, что общее предложение следует из предложения о природе числа.

Но в этом случае, кажется мне, что мы не можем использовать общность – все, и т.д. – вообще во всей математике. Нет такой вещи как «все числа», просто потому что их бесконечно много (PR §126; PR §129).

«Экстенционалисты», которые утверждают, что “ε(0).ε(1).ε(2) и так далее” – это бесконечное логическое умножение (PG 452), полагают или утверждают, что конечные и бесконечные конъюнкции очень близки – а тот факт, что мы не можем написать или перечислить все элементарные конъюнкты, «содержащиеся» в бесконечной конъюнкции, это только «человеческая слабость», т.к. Бог мог бы несомненно так сделать, и несомненно он мог бы обозреть всю конъюнкцию одним взглядом и определить ее истинность. Согласно Витгенштейну, однако, это не следствие человеческой ограниченности. Т.к. мы ошибочно полагаем, что «бесконечная конъюнкция» похожа на «огромную конъюнкцию», мы ошибочно делаем вывод, что т.к. мы не можем определить истинность огромной конъюнкции вследствии отсутствии необходимого времени, мы похожим образом не можем, из-за человеческой ограниченности, определить истинность бесконечной конъюнкции (или дизъюнкции). Но различие здесь не только в степени, но и в качестве: «в смысле, в котором невозможно проверить бесконечное число предложений, так же невозможно даже попытаться сделать это» (PG 452). Это применимо, по Витгенштейну, к людям, но что более важно, это применимо также и к Богу (т.е., ко всезнающему существу), т.к. даже Бог не может написать или обозреть бесконечно много предложений, поскольку для него также ряд бесконечный или неограниченный, и поэтому эта «задача» не является настоящей задачей, потому что это не может быть сделано принципиально (т.е., «бесконечно много» - это не обозначающее число слово). Как Витгенштейн пишет в (PR 128; ср. с PG 479): ««Может ли Бог знать все знаки после запятой числа π?» мог бы быть хорошим вопросом для схоластиков», т.к. этот вопрос определенно «бессмысленен». Как мы скоро увидим, по мнению Витгенштейна, «утверждение о всех числах не представляется посредством предложения, но представляется посредством индукции» (WVC 82).

Подобным образом, также не существует такой вещи как математическое предложение о некотором числе – нет такой вещи как математическое предложение, которое существенно может быть кванторизовано над бесконечной областью определения (PR §173).

Каково значение такого математического предложения ‘(

n) 4 + n = 7’? Это может быть дизъюнкцией - (4 + 0 = 7) (4 + 1 = 7) и т.д. до бесконечности. Но что это значит? Я могу понять предложение с началом и концом. Но может ли кто-нибудь также понять предложение без конца? (PR §127)

Мы в особенности соблазняемся чувством или верой, что применение бесконечной математической дизъюнкции имеет здравый смысл в случае, когда мы можем предложить рекурсивное правило для порождения каждого следующего члена бесконечной последовательности. Например, когда мы говорим «Существует нечетное идеальное число» мы полагаем, что в бесконечной последовательности нечетных чисел найдется (по крайней мере) одно нечетное число, являющееся идеальным – мы полагаем «φ(1)

φ(3) φ(5) и т.д.» и мы знаем, что сделает это предложение истинным, а что – ложным (PG 451). Ошибкой здесь, согласно Витгенштейну (PG 451), является то, что мы неявно «сравниваем предложение “( n)…” с предложением «На этой странице есть два иностранных слова»», которое не имеет грамматики первого «предложения», а только показывает аналогию в их соответствующих правилах.

С точки зрения переходного финитизма Витгенштейн, выражение с кванторами над бесконечной областью определения никогда не является значащим предложением, даже тогда, когда мы доказали, например, что некоторое число n имеет некоторое свойство.

Важно, что даже если мне дано 3^2+4^2=5^2, я не должен говорить «(

x, y, z, n) (x^n+y^n=z^n)” , т.к. с точки зрения экстенции это бессмысленно, а с точки зрения интенции не дает нам доказательства. Нет, в таком случае я должен отразить только первое уравнение. (PR §150)

Т.о., Витгенштейн придерживается радикальной позиции, что все выражения с навешенными кванторами над бесконечной областью определения, являются ли они «гипотезами» (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза простых чисел-близнецов) или «доказанными общими теоремами» (например, «теорема Евклида о простых числах», фундаментальная теорема алгебры), все равно они не имеют значения (т.е., «бессмысленны»; «sinnlos») по сравнению с «подлинными математическими предложениями» (PR §168). Эти выражения – не (значащие) математические предложения, согласно Витгенштейну, т.к. закон исключенного третьего не применим, что значит что «мы не имеем дело с предложениями математики» (PR §151). Принципиальный вопрос почему и в каком точно смысле закон исключенного третьего не применим к таким выражениям, будет рассмотрен в следующем разделе.