Необычная позиция Витгенштейна здесь – вариант структурализма, который частично происходит из его непринятия математической семантики. Мы ошибочно думаем, например, что ГГ имеет полностью определенный смысл, потому что, следуя «обманчивым путем, где тип выражения языка, состоящего из слов, дает смысл математических предложений» (PG 375), мы воспроизводим в памяти ложные картины и ошибочные, ссылочные концепции математических предложений, и тем самым ГГ у нас получается о математической реальности, и т.о. имеет определенный смысл, такой как «где-то еще во Вселенной существуют разумные существа» (т.е., предложение, которое определенно является истинным или ложным, независимо от того, знали ли мы когда-нибудь его истинностное значение). Витгенштейн покончил с этой традицией, во всех ее формах, подчеркивая, что в математике, в отличие от области контингенциальных (или эмпирических) предложений, «если мне нужно знать, что говорит такое предложение, как последняя теорема Ферма», я должен знать ее критерий истины. В отличие от критерия истины для эмпирических предложений, который может быть известен до того, как предложение разрешено, мы не можем знать критерий истины для нерезрешенного математического предложения, хотя мы «знакомы с критерием истины для похожих предложений» (RFM VI, §13).
2.5 Мнение Витгенштейна об иррациональных числах
Витгенштейн в переходный период проводит достаточно времени, ломая голову над действительными и иррациональными числами. Есть две различные причины для этого.
Во-первых, реальная причина, по которой многие из нас не желают отказаться от понятия актуальной бесконечности в математике, - это превалирующая идея рассмотрения иррационального числа как заведомо бесконечной экстенции. «Путаница в идее «актуальной бесконечности» возникает», пишет Витгенштейн (PG 471), «из неясной концепции иррационального числа, т.е., из того факта что логически очень разные вещи называются «иррациональными числами» без какой-то ясной границы, задаваемой в этой концепции».
Во-вторых, и более основательно, Витгенштейн в переходный период борется с иррациональностью так тщательно, потому что он противопоставляет фундаментализм и в особенности его идею «сплошного математического континуума», идею всеобъемлющей теории действительных чисел и набор теоретических концепций и «доказательств» в качестве оснований арифметики, теорию действительных чисел, и математику в общем. На самом деле, исследование Витгенштейна иррациональных чисел объединяется с его критикой теории множеств, т.к., по его словам, «математика вся во власти пагубных идиом теории множеств», таких как «люди говорят о прямой как состоящей из точек», когда, в действительности, «прямая есть закон, и ни из чего не состоит» [(PR §173), (PR §§181, 183, & 191), (PG 373, 460, 461, & 473)].
2.5.1 Витгенштейновский анти-фундаментализм и подлинные иррациональные числа
Т.к., в терминах Витгенштейна, математика состоит исключительно из экстенций и интенций (т.е., «правил» или «законов»), иррациональное число - это только экстенция в той мере, что оно есть знак (т.е. «символ числа», такой как ‘√2’ или ‘π’). Учитывая, что нет такой вещи как бесконечная математическая экстенция, следует, что иррациональное число не является уникальным бесконечным расширением, но, скорее, уникальным рекурсивным правилом или законом (PR §181), который производит рациональные числа (PR §186; PR §180).
Правило, по которому строятся разряды √2, – это символ для иррационального числа; и причина, по которой я здесь говорю «число», - я могу оперировать с этими знаками (определенными правилами построения рациональных чисел) так же как и с самими рациональными числами (PG 484).
Однако, ввиду своего анти-фундаментализма, Витгенштейн принимает радикальную позицию, что не все рекурсивные действительные числа (т.е., вычислимые числа) являются подлинно действительными числами, и эта позиция отличает его точку зрения даже от Брауэра.
Проблема, как видит ее Витгенштейн, в том, что математики, а в особенности фундаменталисты (например, работающие с теорией множеств), пытаются согласовать физическую непрерывность с теорией, которая «описывает» математический континуум (PR §171). Когда, например, мы думаем о непрерывном движении и (простой (?mere)) плотности рациональных чисел, мы рассуждаем так: если объект двигается непрерывно из A в B, и он проходит только те расстояния, которые помечены «рациональными точками», то он должен пропустить некоторые расстояния (интервалы или точки), которые не помечены рациональными точками. Но если объект в непрерывном движении проходит расстояния, которые не могут быть соразмерно измерены одними только рациональными числами, то должны быть «зазоры» между рациональными числами (PG 460), и мы, т.о., должны заполнить их, во-первых, рекурсивными иррациональными, и, во-вторых, поскольку «множество всех рекурсивных иррациональных чисел» все еще оставляет зазоры, «не подчиняющимися закону иррациональными числами».
Загадка континуума возникает из-за того, что язык нас вводит в заблуждение, позволяя применять к нему образ, который не подходит. Теория множеств поддерживает неподходящий образ чего-то прерывного, но делает утверждения, противоречащие этому образу, под впечатлением что они сломают предрассудки; между тем как то, что действительно должно быть сделано, это указать на то, что образ не подходит... (PG 471)
Мы ничего не добавляем существенного к дифференциальному и интегральному исчислениям, «дополняя» теорию действительных чисел псевдо-иррациональными и не подчиняющимися закону иррациональными, во-первых, потому что нет зазоров на числовой прямой [(PR §§181, 183, & 191), (PG 373, 460, 461, & 473), (WVC 35)], и, во-вторых, потому что эти вышеуказанные иррациональные числа не нужны для теории «континуума» попросту потому, что не существует математического континуума. Как говорит поздний Витгенштейн (RFM V, §32), «образ числовой прямой абсолютно естественен вплоть до определенного момента; т.е., в той степени, пока он не используется для общей теории действительных чисел». Мы сбились с правильного пути, неправильно истолковывая природу геометрической прямой как непрерывное объединение точек, каждая из которых соответствует действительному числу, что увело нас очень далеко от «естественного» образа числовой прямой в поисках «общей теории действительных чисел».
Т.о., принципиальная причина, по которой Витгенштейн отвергает определенные конструктивные (вычислимые) числа, - эти числа не являются необходимыми построениями, которые к тому же порождают концептуальные спорные вопросы в математике (и особенно в теории множеств). Одной из главных задач Витгенштейн в его многословных обсуждениях рациональных чисел и псевдо-иррациональных чисел является показать то, что псевдо-иррациональные числа, которые якобы нужны для математического континуума, не нужны вовсе.
С этой целью Витгенштейн требует: а) действительное число должно быть «сравнимо с любым рациональным числом, случайно взятым» (т.е., «должно быть установлено, больше ли оно, меньше, или равно рациональному числу» (PR §191)), и б) «число должно быть мерой, в т.ч. самому себе», и если «число» «предоставляет это рациональным числам, нам оно не нужно» (PR §191) [(Frascolla 1980, 242-243); (Shanker 1987, 186-192); (Da Silva 1993, 93-94); (Marion 1995a, 162, 164); (Rodych 1999b, 281-291)].
Для демонстрации того факта, что некоторые рекурсивные (вычислимые) действительные числа не являются подлинными действительными числами, поскольку для них не выполняется а) и б), Витгенштейн определяет мнимое рекурсивное действительное число
5 →3
√2
как правило «Построить десятичное разложение √2, заменяя каждое вхождение «5» на «3»» (PR §182); подобным образом он определяет π’ как
7 →3
π
(PR §186) и, в более поздней работе, переопределяет π’ как
777 →000
π
(PG 475).
Хотя псевдо-иррациональные число подобное π′ (в обоих определениях) «так же однозначно как π или √2» (PG 476), оно, согласно Витгенштейну, «бездомно», потому что вместо использования «идиом арифметики» (PR §186), оно зависит от конкректной «случайной» нотации конкретной системы (т.е., в некотором конкретном основании) [(PR §188), (PR §182), and (PG 475)]. Если мы говорим о различных позиционных системах счисления, мы должны сказать, что π принадлежит всем системам, в то время как π′ принадлежит только одной, что показывает, что π′ не является подлинным иррациональным числом, потому что «не может быть иррациональных чисел разных типов» (PR §180). Более того, псевдо-иррациональные числа не служат мерой, потому что являются бездомными, искусственными конструкциями, паразитирующими на числах, которые занимают естественное место в исчислении и могут быть использованы для измерений. Нам просто не нужны эти отклонения, поскольку они не могут быть полностью сравнимы с рациональными и подлинными иррациональными числами. Они не являются иррациональными числами, согласно критерию Витгенштейна, определяющему, как интересно его провозглашает Витгенштейн, «точно то, что означало или скрывалось за словами «иррациональное число»» (PR §191).
По той же самой причине, если мы определим «не подчиняющееся закону иррациональное число» как а) не подчиняющееся правилу, непериодическое, бесконечное разложение по некоторому основанию, или как б) «последовательность свободного выбора», Витгенштейн отвергнет «не подчиняющееся закону иррациональные числа», потому что, поскольку они не подчиняющееся правилу, они не сравнимы с рациональными (или иррациональными) числами и поэтому не нужны. «Мы не можем сказать, что десятичные дроби, разработанные в соответствии с законом, все еще нуждаются в пополнении бесконечным множеством нерегулярных бесконечных десятичных дробей, которые «будут заметены под ковер» если мы договоримся себя ограничить только теми числами, которые порождены законом», аргументирует Витгенштейн, т.к. «где существует такая бесконечная десятичная дробь, которое не порождена законом», «и как бы мы заметили, что ее нет?» (PR §181; cf. PG 473, 483-84). Похожим образом, последовательность свободного выбора, подобно рецептам для «бесконечного деления пополам» или «бесконечной игры в кости», - это не бесконечно сложный математический закон (или правило), это скорее вообще не закон, т.к. после каждого индивидуального подбрасывания монеты, точка остается «бесконечно неопределенной» (PR §186). По тесно связанным причинам, Витгенштейн высмеивает аксиому мультипликативности (аксиому выбора) как в средний период (PR §146), так и в более поздний период (RFM V, §25; VII, §33).