2.5.2 Эссенциализм Витгенштейна в области действительных чисел и опасности теории множеств
На первый взгляд, по крайней мере, кажется, что Витгенштейн предлагает эссенциальный аргумент на то, что арифметика действительных чисел не должна быть расширена тем или иным образом. Такое эссенциальное мнение на действительные и иррациональные числа, кажется, вступает в противоречие с фактической свободой математиков в том, что они должны расширять и изобретать, с Витгенштейновским заявлением в переходный период (PG 334) о том, что «для [него] одно исчисление ничем не лучше другого», и с Витгенштейноским принятием комплексных и мнимых чисел. Фундаменталистские критики Витгенштейна (например, теоретики теории множеств) несомненно скажут, что мы расширили понятие «иррационального числа» на не подчиняющиеся закону и псевдо-иррациональные числа, потому что они необходимы для математического континуума, и потому что подобные «потенциальные числа» более похожи на подчиняющиеся правилам иррациональные, чем рациональные.
Хотя Витгенштейн подчеркивает различия там, где другие видят похожесть (LFM 15), в своей агрессивной критике псевдо-иррациональных чисел и фундаментализма, он не просто делает ударение на различия, он критикует «пагубные идиомы» теории множеств (PR §173) и ее «грубейшую вообразимую неправильную интерпретацию своего собственного исчисления» (PG 469-70) в попытке ликвидировать «недоразумения, без которых [теория множеств] никогда не была бы изобретена», т.к. она «бесполезна для всего остального» (LFM 16-17). Комплексные и мнимые развивались параллельно с самой математикой, и они доказали свою нужность в научных приложениях, а псевдо-иррациональные числа – чуждые образования, придуманные исключительно ради ошибочных фундаменталистских целей. Главным моментом для Витгенштейна является не то, что мы не можем создавать новые рекурсивные действительные числа – на самом деле, мы можем создавать так много, как хотим – а то, что мы можем говорить только о различных системах (множествах) действительных чисел (RFM II, §33), которые могут быть перечислены правилом, и любая попытка говорить о «множестве всех действительных чисел» или любая постепенная попытка добавить или рассмотреть новые рекурсивные действительные числа (например, диагональные числа) бесполезные и/или тщетные усилия, основанные на фундаменталистских заблуждениях. Действительно, в 1930 MS и TS разговорах об иррациональных числах и диагонали Кантора, которые не были включены в PR или PG, Витгенштейн говорит: «Идея «иррационального числа» - опасная псевдо-концепция» (MS 108, 176; 1930; TS 210, 29; 1930). Как мы увидим в следующем разделе, по мнению Витгенштейна, если мы не понимаем иррациональные числа правильным образом, мы не сможем сделать ничего, кроме как породить ошибки, которые составляют теорию множеств.
2.6 Критика Витгенштейна теории множеств
Критика Витгенштейна теории множеств берет свое начало - в достаточно мягкой манере - в ЛФТ, где он осуждает логицизм и говорит (6.031), что «теория классов в математике совершенно излишняя», т.к., по крайней мере отчасти, «в математике требуется не несистематическая общность». В средний период, Витгенштейн начинает наступление на полную мощность на теорию множеств, которое никогда впоследствии не ослабевало. Теория множеств, по его словам, это «совершеннейшая глупость» (PR §§145, 174; WVC 102; PG 464, 470), «ошибочная» (PR §174) и «смехотворная» (PG 464); ее «губительные идиомы» (PR §173) вводят нас в заблуждение, и грубейшая из возможных неправильная интерпретация является основным толчком к ее изобретению (Hintikka 1993, 24, 27).
Переходная критика Витгенштейна трансфинитной теории множеств (далее просто «теории множеств») состоит из двух основных моментов: (1) его рассуждения о разграничении интенция-экстенция, и (2) его критика несчетности как мощности множества. Под конец среднего периода, Витгенштейн, кажется, начинает все больше осознавать невыносимый конфликт между своим сильным формализмом (PG 334) и своей клеветой теории множеств как чисто формальным, не-математическим исчислением (Rodych 1997, 217-219), что, как мы увидим в разделе 3.5, приведет к использованию критерия экстра-математической (внешней по отношению к математике) применимости для разграничения трансфинитной теории множеств (и других чисто формальных знаковых игр) и математических исчислений.
2.6.1 Интенции, экстенции и фиктивный символизм теории множеств
Поиск универсальной теории действительных чисел и математической непрерывности привел к «фиктивному символизму» (PR §174).
Теория множеств пытается осмыслить бесконечность на более общем уровне, чем изучение законов действительных чисел. Она говорит, что вы никак не можете постичь актуальную бесконечность через математический символизм в принципе, и поэтому она может быть только описана, но не представлена. ... Кто-то может сказать об этой теории, что она покупает кота в мешке. Пусть бесконечность сама приспосабливается в этой коробке наилучшим образом. (PG 468; см. также PR §170)
По заявлению Витгенштейна в (PG 461), «ошибка в теоретико-множественном подходе состоит во времени и опять в трактовке законов и перечислений (списков) как существенно похожих вещей и выстраивании их в параллельные ряды т.о., что один заполняет зазоры, оставленные другим». Это ошибка, потому что «бессмысленно» говорить, что «мы не можем пронумеровать все числа множества, но мы можем дать описание», т.к. «одно не заменяет другого» (WVC 102; 19 июня, 1930); «не существует дуализма закона и бесконечного ряда, подчиняющегося ему» (PR §180).
«Теория множеств ошибочна» и абсурдна (PR §174), говорит Витгенштейн, поскольку она заранее предполагает фиктивный символизм бесконечных знаков (PG 469) вместо фактического символизма конечных знаков. Грандиозное объявление теории множеств, которое начинается с «Концепции функции Дирихле» (WVC 102-03), состоит в том что мы можем в принципе представить бесконечное множество путем нумерации, но из-за человеческих или физических ограничений, вместо этого мы опишем его интенционально. Но, говорит Витгенштейн, «не может быть вероятности и реальности в математике», поскольку математика – это действительное исчисление, которое «занимается только со знаками, которыми оно фактически оперирует» (PG 469). Как Витгенштейн заявляет в (PR §159), тот факт, что «мы не можем описать математику, мы можем только работать с ней» и «внутри нее, отменяет любую «теорию множеств»».
Возможно, лучший пример этого феномена – это Дедекинд, который в своем «определении» «бесконечного класса» как «класса, который аналогичен соответственному подклассу себя самого» (PG 464) «пытался описать бесконечный класс» (PG 463). Однако, если мы попытаемся применить это «определение» к конкретному классу с целью установить, является ли он конечным или бесконечным, то эта попытка будет «смехотворной», если мы будем применять к конечному классу, такому как «определенный ряд деревьев», и «бессмысленной», если мы применим к «бесконечному классу», т.к. мы не можем даже пытаться «согласовать его» (PG 464), потому что «соотношение m = 2n [не] соотносит класс всех чисел с одним из его подклассов» (PR §141), это «бесконечный процесс», который «соотносит любое произвольное число с другим». Т.о., хотя мы и можем использовать m = 2n в качестве правила для построения всех натуральных чисел (т.е., нашей области определения) и тем самым сконструировать пары (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), и т.д., но в таких построениях мы не соотносим два бесконечных множества, или экстенции (WVC 103). Если мы попытаемся применить определение Дедекинда в качестве критерия для определения бесконечности данного множества путем установления биективного соответствия между двумя индуктивными правилами построения «бесконечных экстенций», одна из которых есть «экстенциональное подмножество» другой, возможно, мы не сможем узнать ничего из того, чего мы уже не знали, когда применяли этот «критерий» к двум индуктивным правилам. Если Дедекинд или кто-либо еще настаивает на обозначении индуктивного правила «бесконечным множеством», он и мы должны просто отметить категорийное различие между подобным множеством и конечным множеством с детерминированной, конечной мощностью.
На самом деле, по мнению Витгенштейна, неспособность в правильном разграничении математических экстенций и интенций – это основная причина ошибочной интерпретации Канторовского диагонального доказательства как доказательства существования бесконечных множеств как меньших, так и больших мощностей.