на тему «Геометрические преобразования» (стр. 2 из 9)

Определение. Симметрией

пространства относительно прямой ℓ (осевой симметрией) называется преобразование, которое каждую точку прямой ℓ отображает в себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М´, что прямая ℓ является серединным перпендикуляром к отрезку ММ´. Прямая ℓ называется осью симметрии.

Очевидно, осевая симметрия является частным случаем поворота вокруг оси (вокруг той же прямой на угол 2πk+π,

). Из этого в частности следует, что осевая симметрия – движение.

3.4. Центральная симметрия.

Определение. Симметрией

относительно точки О (центральной симметрией) пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М´, что точка О является серединой отрезка ММ´. Точка О называется центром симметрии.

Теорема 3.4. Центральная симметрия – движение.

Доказательство.

Пусть А, В – две произвольные точки, А´, В´ – их образы, О – центр симметрии. Тогда

.

Свойство центральной симметрии. Центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.4, мы доказали, что при параллельном переносе вектора меняются на противоположные. Значит, у направляющих векторов прямых и векторов нормали плоскостей при центральной симметрии лишь меняются направления. Отсюда и следует наше утверждение.

3.5. Симметрия относительно плоскости.

Определение. Пусть в пространстве задана плоскость α. Преобразование пространства, при котором каждая точка плоскости α переходит в себя, а произвольная точка

– в такую точку М´, что плоскость α перпендикулярна ММ´ и делит его пополам, называется (зеркальной) симметрией относительно плоскости α. Плоскость α называется плоскостью симметрии.

Теорема 3.5.1. Зеркальная симметрия – движение.

Доказательство. Пусть А, В – произвольные точки пространства, А´, В´ – их образы при зеркальной симметрии относительно плоскости α. Достаточно показать, что АВ=А´В´. Рассмотрим плоскость β, перпендикулярную плоскости α и проходящую через точки А, В. Пусть

. Тогда А´, В´ – образы точек А, В при симметрии относительно прямой ℓ плоскости β. Значит, АВ=А´В´.

Свойство зеркальной симметрии. При зеркальной симметрии образ прямой (плоскости), не лежащей в плоскости симметрии, параллелен прообразу или пересекается с ним на плоскости симметрии.

Доказательство. Будем пользоваться тем, что точки плоскости симметрии неподвижны. Если наша прямая (плоскость) пересекает плоскость симметрии в некоторой точке (по некоторой прямой), то и её образ будет проходить через эту точку (прямую). Значит, образ с прообразом пересекаются в этой точке (по этой прямой).

Осталось доказать, что если прямая (плоскость) параллельна плоскости симметрии, то её образ будет параллелен прообразу. Вначале докажем для прямой. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную плоскости симметрии и содержащую нашу прямую. Образ нашей прямой лежит в этой плоскости. Значит, образ с прообразом параллельны или пересекаются. Второе невозможно, т.к. образ и прообраз лежат в разных полупространствах относительно плоскости симметрии. Доказательство для плоскости ещё проще. Достаточно заметить, что образ и прообраз нашей плоскости лежат в разных полупространствах относительно плоскости симметрии и не могут пересекаться.

3.6. Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение.

Определение. Переносной симметрией

называется композиция зеркальной симметрии и параллельного переноса , где :

Определение. Поворотной симметрией называется композиция зеркальной симметрии

и поворота вокруг оси , где .

Определение. Винтовым движением называется композиция поворота вокруг оси

и параллельного переноса , где .

Легко заметить, что во всех трёх определениях, композиция не зависит от порядка выполнения движений.

Из свойства 2 движений следует

Теорема 3.6: Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение – движения.

4. Неподвижные точки различных видов движений пространства.

Найдём множества неподвижных точек различных видов движений:

1. Тождественное преобразование. Множеством неподвижных точек тождественного преобразования является всё пространство.
2. Параллельный перенос. Если
   , то
   - тождественное преобразование и неподвижными будут все точки пространства. Если
   , то у
   нет неподвижных точек.
3. Поворот вокруг оси, осевая симметрия. Если угол поворота равен 2πk (
   ), то он является тождественным преобразованием. Тогда неподвижны все точки. Если угол поворота не равен 2πk (
   ) (в частности, если он является осевой симметрией), то множеством неподвижных точек является ось симметрии.
4. Центральная симметрия. Неподвижной точкой является только центр симметрии.
5. Зеркальная симметрия. Неподвижными точками являются точки плоскости симметрии.
6. Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение.

• У переносной симметрии неподвижных точек нет
• У винтового движения неподвижных точек нет.
• У поворотной симметрии
  единственная неподвижная точка
  .

Наглядно вывод можно представить в виде следующей таблицы (для всех преобразований мы не берём в расчёт их частный случай, когда они являются тождественными):

Впоследствии мы докажем, что движения пространства ограничиваются перечисленными в таблице. Поэтому наша таблица полная.

Теперь докажем несколько теорем, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Теорема 4.1. (признак поворота) Если множеством неподвижных точек движения является прямая ℓ, то это движение – поворот около прямой ℓ.

Доказательство. Из аналогичной теоремы на плоскости следует, что в каждой плоскости, перпендикулярной ℓ, происходит поворот. Все эти повороты происходят на один и тот же угол, т.к. каждая плоскость, содержащая ℓ, как легко показать, при нашем движении переходит в плоскость, также содержащую ℓ. Значит, наше движение – поворот около ℓ.

Теорема 4.2. (признак зеркальной симметрии) Если множеством неподвижных точек движения является плоскость α, то это движение – симметрия относительно плоскости α.

Доказательство. Пусть α – плоскость неподвижных точек, Х – произвольная точка пространства, не лежащая в α. Опустим перпендикуляр ℓ из Х на α. Прямая ℓ при нашем движении переходит в себя, так как она остаётся перпендикулярной плоскости α и проходит через ту же точку (назовём её О) плоскости α (потому что эта точка неподвижна). Тогда Х´, образ точки Х при нашем движении, лежит на прямой ℓ. При этом ОХ´=ОХ, т.е. Х´ симметрична Х относительно плоскости α. Таким образом, наше движение – симметрия относительно плоскости α.

5. Теорема о задании движения.

Теорема 5.1. (теорема о задании движения) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ с соответственно равными рёбрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A´, B´, C´, D´.