на тему «Геометрические преобразования» (стр. 4 из 9)

Доказательство теоремы 7.1.б. Опять возьмём произвольную точку А, её образ А´ при движении f и плоскость ω симметрии точек А и А´. Тогда движение

второго рода имеет неподвижную точку А. По теореме 7.2.а движение g – зеркальная симметрия или поворотная симметрия.

Если g – зеркальная симметрия, то f является композицией двух зеркальных симметрий. Кроме того f не имеет неподвижных точек, т.е. f – параллельный перенос.

Пусть теперь

( ) – поворотная симметрия. Представим ( ), причём выберем . Тогда . Т.к. , , и – осевые симметрии. Итак, – композиция двух осевых симметрий.

Если a и b пересекаются, то у f есть неподвижная точка, что невозможно.

Если a и b параллельны, то f, как легко убедиться, – параллельный перенос.

Если а и b скрещиваются, то рассмотрим их общий перпендикуляр h и прямую p такую, что p проходит через точку пересечения h и a и p||b. Тогда, как легко убедиться,

– поворот вокруг прямой h на некоторый угол, а – параллельный перенос на некоторый вектор . Поэтому – винтовое движение.

Пользуясь, полученными результатами получаем таблицу:

Часть II. Подобия пространства.

Определение. Подобием

называется такое преобразование пространства, при котором для любых точек пространства X, Y и их образов X´, Y´ выполняется соотношение , где k – некоторое фиксированное положительное число (называемое коэффициентом подобия).

Определение. Фигура Ф называется подобной фигуре Ф´, если существует подобие, переводящее Ф в Ф´.

1. Гомотетия пространства.

Вначале рассмотрим важный частный случай подобия – гомотетию.

Определение. Гомотетией

с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором образом каждой точки Х является точка Х´ такая, что .

Свойства гомотетии.

1. Преобразование, обратное гомотетии
   , – гомотетия
   .
2. Композицией гомотетий
   и
   является гомотетия
   .
3. Композицией гомотетий
   и
   будет параллельный перенос, если
   , и гомотетия с центром на прямой АВ и коэффициентом
   , если
   .
4. Гомотетия переводит прямую (плоскость), не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую (плоскость); прямую (плоскость), проходящую через центр гомотетии, – в себя.
5. Гомотетия сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения гомотетии.

3. Доказывается аналогично соответствующей теореме на плоскости. Действительно, если мы рассмотрим произвольную точку Х пространства, нам будет достаточно доказать нашу теорему для плоскости (АХВ).

4. Доказывается от противного.

1. Следует из свойства 1.

2. Свойства подобия.

Теорема 2.1. Подобие

пространства можно представить композицией гомотетии и движения f:

или

Доказательство. Произведём гомотетию

с центром в произвольной точке. Рассмотрим преобразование f такое, что (существование такого преобразования следует из определения преобразования). Преобразование f будет движением по определению движения.

Заметим, что, выбрав за f движение

, мы сможем получить представление нашего подобия и в таком виде .

Свойства подобия.

1. При подобии прямая отображается на прямую, луч – на луч, отрезок – на отрезок, плоскость – на плоскость, полуплоскость – на полуплоскость.
2. Подобие сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.
3. Подобие сохраняет отношение отрезков.
4. Если тело Т´ – образ тела Т при подобии
   , то V(T´)=k³∙V(T).

Доказательства свойств.

1 и 2. Следствия из теоремы 2.1.

3. Следует из определения подобия.

4. Для куба теорема, очевидно, верна. Для тела, состоящего из кубов, естественно, тоже.

Произвольный многогранник М можно наложить на кубическую решётку. Будем измельчать эту решётку. При стремлении стороны одного кубика нашей решётки к нулю объёмы двух тел: тела I, состоящего из кубиков лежащих полностью внутри М, и тела S, состоящего из кубиков, имеющих общие точки с М, – стремятся к объёму многогранника М (это следует из того, что для каждой грани нашего многогранника М к нулю будет стремиться объём кубиков, пересекающих эту грань). При этом для образа М´ многогранника М при нашем подобии объёмы тел I´, S´ (образов тел I, S) стремятся к объёму многогранника М´. Для тел I и S наша теорема верна, значит, она верна и для многогранника М.

Объём произвольного тела определяется через объёмы соответствующих многогранников, поэтому теорема верна и для произвольного тела.

Теорема 2.2. (о задании подобия пространства) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ такие, что

, то существует ровно одно подобие пространства, при котором А→А´, В→В´, С→С´, D→D´.

Доказательство. То, что такое подобие существует, следует из теоремы 2.1 и теоремы о задании движения пространства (часть I, теорема 5.1). Пусть таких преобразований два: P и Р´. Тогда преобразование

– движение, имеющие неподвижные точки A, B, C, D, т.е. f – тождественное преобразование. Отсюда Р=Р´.

3. Подобия первого и второго рода.

Аналогично движениям I и II рода определяются подобия I и II рода: