на тему «Геометрические преобразования» (стр. 8 из 9)

Из теорем 1.1, 1.2, 1.3 сразу следуют некоторые важные утверждения:

Следствия.

1. Любое проективное преобразование является композицией центральной (параллельной) проекции и подобия.
2. Проективное преобразование сохраняет двойные отношения.

Задача 1.

Даны две прямые a и b и не лежащая на них точка Р. Через Р проводятся различные пары прямых, пересекающих прямые a и b в точках А, С и B, D соответственно. М – точка пересечения AD и ВС. Доказать, что все такие точки М лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения прямых a и b.

Решение.

Пусть О – точка пересечения прямых a и b. Переведём прямую ОР в бесконечно удалённую. Тогда четырёхугольник ABDC будет параллелограммом; М, точка пересечения его диагоналей, будет лежать на прямой, параллельной прямым a и b и отстоящей от них на равные расстояния.

Задача 2.

Можно ли окрасить 2006 точек плоскости в красный цвет и 1003 – в синий так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки разных цветов, содержала ещё одну из окрашенных точек и все окрашенные точки не лежали на одной прямой.

Решение.

Рассмотрим проективную плоскость и правильный 2006-угольник на ней. Все вершины 2006-угольника покрасим в красный цвет, а точки пересечения сторон с бесконечно удалённой прямой покрасим в синий цвет. Легко проверить, что этот набор точек обладает требуемым свойством. Осталось лишь сделать проективное преобразование так, чтобы на бесконечно удалённой прямой не осталось отмеченных точек…

Ответ: можно.

Теорема 1.4. Дана окружность и точка M внутри неё. Существует центральная проекция, при которой данная окружность переходит в окружность, а точка M – в её центр.

Доказательство. Пусть АВ – тот диаметр нашей окружности, на котором лежит точка M. Рассмотрим косой круговой конус, основанием которого является наша окружность, а вершиной такая точка О, что

. На прямых ОА и ОВ за точку О отложим точки В´ и А´ соответственно так, что ОВ=ОВ´ и ОА=ОА´:

Пусть С´ – середина А´В´ и

. Применяя теорему синусов к треугольникам ОАС, ОВС, ОВ´С´ и ОС´А´, нетрудно получить соотношение , т.е. точка С в точности совпадает с точкой М. Теперь осталось заметить, что из соображений симметрии сечение нашего конуса плоскостью α, проходящей через прямую А´В´ перпендикулярно плоскости (АОВ), является окружностью, поэтому центральная проекция с центром О на плоскость α является искомой.

Из доказательства этой теоремы следует также

Теорема 1.5: Любое проективное преобразование сохраняет какую-то окружность.

Теорема 1.6. Дана окружность и не пересекающая её прямая ℓ. Существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а ℓ – в бесконечно удалённую прямую.

Доказательство. Пусть А, В – произвольные точки прямой ℓ, АK, AL, BM, BN – касательные к окружности из точек А и В,

. По теореме 1.4 существует преобразование, сохраняющее нашу окружность, переводящее Р в её центр. При этом преобразовании отрезки KL и MN перейдут в диаметры окружности, поэтому А и В перейдут в бесконечно удалённые точки, а ℓ - в бесконечно удалённую прямую.

Задача 3.

Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон и вписанной окружности, пересекаются в одной точке.

Решение.

Пусть АВС – наш треугольник, А´, В´, С´ – точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника,

. Проведём проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность и переводящее точку Т в её центр. Тогда AA´ и ВВ´ станут одновременно и высотами, и биссектрисами треугольника АВС, т.е. треугольник АВС перейдёт в правильный, а точка Т – в его центр. Значит СС´ проходит через Т.

2. Проективные теоремы.

Ниже приводятся известные теоремы геометрии, которые легко доказываются применением проективного преобразования:

Теорема 2.1. (теорема Дезарга) Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников ABC и A´B´C´ (т.е. AB и A´B´, BC и B´C´, AC и A´C´), пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой ℓ, то прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, пересекаются в одной точке.

Теорема 2.2. (теорема Паппа) Если точки А, В, С лежат на прямой ℓ, точки А´, В´, С´ - на прямой ℓ´, то точки P, Q, R пересечения прямых АВ´ и А´В, АС´ и А´С, ВС´ и В´С соответственно лежат на одной прямой.

Теорема 2.3. (теорема Паскаля) Точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.

Теорема 2.4. (теорема Брианшона) Главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Не будем подробно проводить доказательство этих теорем, покажем лишь, какое преобразование сводит каждую из этих задач к очевидной:

Теорема 2.1 – проективное преобразование, переводящее прямую ℓ в бесконечно удалённую;

Теорема 2.2 – проективное преобразование, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую;

Теорема 2.3 – проективное преобразование, сохраняющее описанную окружность, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую, где P, Q – точки пересечения двух пар противоположных сторон шестиугольника;

Теорема 2.4 – проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность, переводящее точку пересечения двух диагоналей в центр этой окружности.

3. Полярное соответствие, принцип двойственности.

Определение. Полярное соответствие на плоскости относительно окружности с центром О и радиусом r ставит в соответствие каждой точке А, отличной от О, прямую а, перпендикулярную ОА и пересекающую луч ОА в такой точке А´, что

. Прямая а называется полярой точки А, а точка А – полюсом прямой а. Полярой точки О является бесконечно удалённая прямая, а полярой бесконечно удалённой точки – прямая, содержащая диаметр, перпендикулярный проходящим через неё параллельным прямым.

Свойства.

1. Если точка В лежит на поляре а точки А, то её поляра проходит через А.
2. Полюс прямой является пересечением поляр всех её точек.
3. Поляра точки является геометрическим местом полюсов всех проходящих через эту точку прямых.
4. Полярой точки А, лежащей вне окружности, будет прямая, соединяющая точки касания окружности с касательными, проведёнными к ней из точки А.
5. Если проективное преобразование сохраняет данную окружность и переводит точку А в А´, то поляра а точки А переходит в поляру а´ точки А´.

Первое свойство является очевидным, а каждое следующее свойство сразу вытекает из предыдущих.

Следствие. (принцип двойственности) Пусть доказано некоторое проективное утверждение. Тогда верным будет и утверждение, полученное из доказанного взаимной заменой следующих терминов:

(точка)↔(прямая)

(лежать на прямой)↔(проходить через точку)

(лежать на окружности)↔(касаться окружности)

Двойственны, например, теоремы Паскаля и Брианшона.

Теорема 3.1. (теорема обратная теореме Дезарга) Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ABC и A´B´C´, пересекаются в одной точке, то прямые, содержащие соответственные стороны этих треугольников, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Доказательство. Эта теорема двойственна теореме 2.1. (теореме Дезарга).

Часть V. Круговые преобразования пространства.

1. Инверсия пространства.

Определение. Пусть в пространстве дана сфера S с центром О и радиусом R. Инверсией относительно сферы S называется преобразование, переводящее произвольную точку А, отличную от О, в точку А´, лежащую на луче ОА такую, что

. S – сфера инверсии, О – центр, R – радиус инверсии.

Дополним пространство бесконечно удалённой точкой и поставим её в соответствие точке О (тогда, очевидно, бесконечно удалённая точка перейдёт при инверсии в точку О).

Будем считать, что любая прямая и любая плоскость содержат бесконечно удалённую точку пространства.

Определение. Углом между двумя пересекающимися сферами называется угол между касательными плоскостями к сферам, проведёнными через любую из точек пересечения сфер. Углом между пересекающимися сферой и плоскостью называется угол между касательной плоскости к сфере, проведённой через любую из точек пересечения сферы и плоскости, и данной плоскостью.

Определение. Углом между двумя пересекающимися окружностями (окружностью и прямой) в пространстве называется угол между касательными к окружностям, проведёнными через любую из точек пересечения окружностей. Углом между пересекающимися окружностью и прямой называется угол между касательной к окружности, проведённой через любую из точек пересечения окружности и прямой, и данной прямой.

С помощью движений пространства легко доказать корректность этих определений (т.е., что угол не зависит от точки пересечения сфер (окружностей), которую мы рассмотрели). Например, для сфер можно перевести одну точку пересечения в другую, сохранив сферы, поворотом вокруг оси, проходящей через центры сфер.