Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси (стр. 5 из 5)

Наряду с точной системой рассматривается приближенная

, (s=1,2) .

Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных

функции непрерывны и ограничены. Функции также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным и (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для и L>0 : , 0 ,

где

(s=1,2) =

(s=1,2)

Проверим выполнение условий теоремы для нашего уравнения. Из системы (6) находим

и :

Очевидно, что

и непрерывны.

, из этих неравенств видно, что и ограничены для любого конечного . Функции и для системы (2) имеют вид:

.

Из последней системы видно, что

и непрерывны и ограничены для любого конечного . и — периодические по t с любым периодом, в том числе и . Функции и , и непрерывно дифференцируемы по t, а следовательно удовлетворяют условию Липшица.

Пусть

и — решения точной системы (6). Тогда для и : , .

( В нашем случае

, определяется уравнением (9а)).

Выводы

В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.

В заключение заметим, что метод Ван-дер-Поля позволил исследовать достаточно широкий круг задач нелинейной механики (с одной степенью свободы), и задач радио- и электротехники, обладает наглядностью и удобен для проведения расчетов. Благодаря этому методу созданы генераторы стационарных колебаний в радиоприемных и радиопередающих устройствах, которые используются и по сей день в современной технике. В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.

Список использованной литературы

1. Ю.А. Митропольский Метод усреднения в нелинейной механике, «Наукова думка» Киев — 1971г.

2. Н.Н. Моисеев Асимптотические методы нелинейной механики, М.: Наука, 1981г.

3. А. Найфэ Методы возмущений. Издательство «Мир», Москва—1976г.

4. А. Найфэ Введение в методы возмущений. «Мир», 1984г.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Физматгиз, М.,1959г.