4. Оценивание параметров структурной модели (стр. 2 из 5)

y₂=a₀₂+a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+E_2,

y₃=a₀₃+a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+E_3.

Матрица параметров при зависимых переменных является диагональной:

1 0 0

B = 0 1 0

0 0 1

Если матрица В треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид:

y₁=a₀₁+a₁₁x₁+a₁₂x₂+E₁

y₂=a₀₂+b₂₁y₁+a₂₁x₁+a₂₂x₂+E₂

y₃=a₀₃+b₃₂y₂+a₃₁x₁+a₃₂x₂+E₂

т.е. зависимая переменная у_гпервого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная у₂второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении. Тогда матрица коэффициентов при зависимых переменных модели составит:

т.е. представляет собой треугольную матрицу.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных уравнений. Так, для модели вида

y₁=a₀₁+b₁₂y₂+a₁₁x₁+a₁₂x₂+E₁

y₂=a₀₂+b₂₁y₁+b₂₃y₃+a₂₃x₃+E₂

y₃=a₀₃+b₃₁y₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+E₃

получим матрицу коэффициентов при зависимых переменных:

которая не является ни диагональной, ни треугольной. Соответственно это отражается на выборе метода оценки параметров эконометрических систем.

2.СТРУКТУРНАЯ И ПРИВЕДЕННАЯ ФОРМЫ МОДЕЛИ

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные обозначаются обычно как х. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других — как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Так, потребление текущего года (у) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y,_i).

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты b_i и a_j (b_i — коэффициент при эндогенной переменной, а_j — коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурные коэффициенты модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается х — х , а под у — соответственно у — у. Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить 8, а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели (б_ij) через коэффициенты структурной модели a_j и b_i. Для упрощения в модель не введены случайные переменные.

Для структурной модели вида

y₁ = b₁₂ y₂+a₁₁ x₁

y₂ = b₂₁ y₁+a₂₂ x₂ (1.1)

приведенная форма модели имеет вид:

y₁=б₁₁ x₁ + б₁₂x₂,

y₂=б₂₁x₁+б₂₂x₂ (1.2)

в которой у₂из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

Тогда система одновременных уравнений будет представлена как

y₂= ,

y₂=b₂₁ y₁+a₂₂ x_2.

Отсюда имеем равенство:

=b₂₁y₁+a₂₂x₂

Или

y₁ - a₁₁x₁ = b₁₂b₂₁y₁ + b₁₂a₂₂x₂

Тогда:

Y₁-b₁₂b₂₁y₁ = a₁₁x₁+b₁₂a₂₂x₂

или

Таким образом, мы представили первое уравнение структурной формы модели в виде уравнения приведенной формы модели:

y₁=б₁₁x₁+b₁₂x_2.

Из уравнения следует, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные соотношения коэффициентов структурной формы модели, т. е.

Аналогично можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели второго уравнения системы (б₂₁ и б₂₂) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную y₁, из второго структурного уравнения модели как

Запишем это выражение у₁в левой части первого уравнения структурной формы модели (1.1):

Отсюда:

что соответствует уравнению приведенной формы модели:

y₂= б₂₁x₁ + б₂₂x₂, т.е.

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо в 1947г., исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у) предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

с = а + by,

y= с+х,

где а и b — параметры линейной зависимости с от у;

х — инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.

Оценки параметров должны учитывать тождество дохода в отличие от параметров обычной линейной регрессии.

В этой модели две эндогенные переменные — сиу и одна экзогенная переменная х. Система приведенных уравнений составит

с = А₀ + А₁х,