Данного проекта возникла в результате изучения темы «Движения» в курсе геометрии 9 класса, когда рассматривался вопрос практического применения движений в повседневной жизни (стр. 2 из 3)

Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

Композиция двух движений также является движением.

Используя определение можно дать такое определение равенства фигур: Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

Виды движений

На плоскости существует четыре типа движений:

Параллельный перенос

Осевая симметрия

Поворот вокруг точки

Центральная симметрия.

Рассмотрим подробнее каждый вид.

Параллельный перенос.

Параллельны переносом называется такое движение , при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости Х и У ставит в соответствие такие точки Х¹ и У¹, что ХХ¹=УУ¹ или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки Х и У перешли в точки Х¹ и У¹ соответственно. Тогда выполняется равенство ХХ¹=УУ¹, откуда получаем, что во-первых ХУ=Х¹У¹, то есть параллельный перенос является движением, и во-вторых, ХУ=Х¹У¹, то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного переноса – его характерное свойство, то есть справедливо утверждении: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом.

Осевая симметрия

Точки Х и Х¹ называются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если а является серединным перпендикуляра отрезка ХХ¹. Каждая точка прямой а считается симметрично самой себе( относительно прямой а) если дана прямая а, то каждой точке Х соответствует единственная точка Х¹, симметричная Х относительно а.

Симметрией плоскости относительно прямой а называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствии точка, симметричная ей относительно прямой а.

Докажем, что осевая симметрия является движением используя метод координат: примем прямую а за ось х декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (х;у) будет преобразована в точку с координатами (х ,-у).

Возьмем любые две точки А(х1, -у1) и В(х2, -у2) и рассмотрим симметричные АВ и А¹В¹, получим АВ =А¹В¹.

Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением.

Центральная симметрия

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с центром в точке О это такое отображение плоскости, при котором любой точке Х сопоставляется такая точка Х¹, что точка О является серединой отрезка ХХ¹.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки О точка Х перешла в Х¹. тогда угол ХОХ¹= 180 градусов, как развернутый, и ХО = ОХ¹, следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия также является движением.

Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположные «движение, изменяющее направление на противоположные, являются центральной симметрией.»

Поворот

Поворот плоскости относительно центра О на данный угол β в данном направлении определяется так: каждой точке Х плоскости ставится в соответствие такая точка Х¹, что во-первых, ОХ=ОХ¹, во-вторых угол ХОХ¹ равен углу поворота β и, в-третьих ОХ¹ откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол β – углом поворота. Поворот является движением.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

На плоскости собственные движения выражаются аналитически в прямоугольной системе координат (х, у) при помощи следующих формул показывающих,

Х=Х cos φ – Y sin φ + а,

Y=X sin φ + cos φ + в,

Что совокупность всех собственных движений на плоскости зависит от трех параметров а, b, φ. Первые два параметра характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор (а, b), а параметр φ - вращение (поворот) плоскости вокруг начала координат. Собственные движения представляют собой произведение (композицию) вращения вокруг начала на угол φ и параллельного переноса на вектор (а , b). Всякое собственное движение может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки.

Несобственные движения выражаются при помощи формул

X=X cos φ + Y sin φ +а,

Y= X sin φ -Y cos φ + в,

показывающих, что несобственное движение есть произведение собственного движения на преобразование симметрии относительно некоторой прямой. Всякое несобственное движение представляет собой произведение параллельного переноса вдоль некоторого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же направление.

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПАРКЕТОВ

Паркеты из правильных многоугольников

Самый простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты.

(рис 1а)

Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Столь же просты паркеты из правильных шестиугольников.

(рис 1б) (рис 1в)

Паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильным многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Вероятно, вам случалось видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов.

(рис2а)

Красивый паркет можно составить из правильных шестиугольников, квадратов и равносторонних треугольников.

(рис 2б)

Паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен. Фигура называется симметричной, если ее наложить на саму себя не «тривиальным» способом (т.е. не таким, когда все точки останутся на своем месте).

Например, на (рис. 2б,) повернув всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, а 60° вокруг центра одного из шестиугольников, мы получим туже самую сетку вершин и сторон.

С точки зрения симметрии наше определение паркета не слишком удачно. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв обычный паркет из шестиугольников (рис1в), можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь паркет в смысле нашего определения. Но можно доказать, что, подразделив, например, три шестиугольника как показано на (рис3) и составив все остальное неподразделенными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрии. Чтобы устранить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы введем такое определение: паркет называется правильным , если его можно наложить на самого себя так что любая заданная его вершина наложится любую другую заданную его вершину. Оказывается, что все многообразие правильных паркетов можно описать. Если длина h стороны многоугольников паркета задана, то существует только 11 различных (не накладывающихся друг на друга) правильных паркетов. Все они изображены на рис. 1, 2, 4.