Тема 17. Преобразование гильберта то, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять (стр. 2 из 3)
Но последнее уравнение - спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:
(t) = TF-1[ 
(f)] = sin(2pfot). (17.1.6)При x(t) = sin(2pfot) аналогичная операция дает
(t) = -cos(2pfot). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис. 17.1.3 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно. Таким образом, преобразование Гильберта, по существу, представляет собой идеальный фазовращатель, осуществляющий фазовый сдвиг на 900 всех частотных составляющих сигналов одновременно.Сдвиг фазы спектров сигналов x(t) на p/2 определяет изменение четности и самих сигналов: четный x(t) Û нечетный
(t), и наоборот.Спектры каузальных функций. Каузальная (физически осуществимая) линейная система (равно как и произвольная причинно обусловленная функция) задается односторонним импульсным откликом (выражением) h(t), t ³ 0, и имеет частотную характеристику H(f):
H(f) = A(f) - j×B(f),
где A(f) и B(f) - действительная (четная) и мнимая (нечетная) части частотной характеристики. Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей этого выражения:
h(t) = a(t) + b(t),
a(t) =
A(f) cos(2pft) df, b(t) = B(f) sin(2pft) df,где a(t) и b(t) - соответственно четная и нечетная части импульсного отклика h(t). Условие каузальности для импульсного отклика (h(t) = 0 при t<0) будет выполнено, если при t<0 функции a(t) и b(t) компенсируют друг друга. Тогда общее условие каузальности, как можно наглядно видеть на рис. 17.1.5, с учетом нечетности функции b(t), запишется в следующем виде:
b(t) = -a(t), b(t) = -h(t)/2, a(t) = h(t)/2, t < 0, (17.1.7)
b(t) = 0, a(t) = a(0) = h(0), t = 0,
b(t) = a(t) = h(t)/2, t > 0.
 Рис. 17.1.5. Параметры каузальной функции. |
Из этих условий следует, что нечетная функция b(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией:
b(t) = sgn(t)×a(t), (17.1.8)
Осуществляя преобразование Фурье обеих частей данного равенства при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) Û j/pf), получаем:
Im(H(f)) = (j/pf) * A(f),
или, с учетом знака мнимой части:
B(f) = -(1/pf) * A(f) = -(1/p)
[A(v)/(f-v)] dv. (17.1.9)Аналогично определяется и действительная компонента спектра по мнимой части:
A(f) = (1/pf) * B(f) = (1/p)
[B(v)/(f-v)] dv. (17.1.10)Таким образом, реальная и мнимая части спектра физически осуществимых (односторонних) систем, а равно и произвольных каузальных сигналов, связаны парой преобразований Гильберта. Они позволяют производить определение любой, действительной или мнимой, части частотной характеристики каузальной функции путем свертки другой ее части с функцией 1/pf.
17.2. Свойства преобразования Гильберта [1, 2].
Для любых произвольных функций x(t) и y(t), имеющих Фурье – образы X(w), Y(w) и преобразования Гильберта
(t) = ТН[x(t)] и 
(t) = ТН[y(t)], действительны следующие свойства:Линейность. ТН[a×x(t)+b×y(t)] = a×
(t)+b× (t) при любых постоянных значениях коэффициентов а и b для любых произвольных функций x(t) и y(t).Сдвиг. ТН[x(t-a)] =
(t-a).Преобразование константы, а в силу линейности преобразования, и постоянной составляющей сигнала, равно нулю. Это прямо следует из нечетности ядра преобразования Гильберта. Отсюда следует, что при преобразовании Гильберта из квадратурной составляющей исключается постоянная составляющая.
Свойство четности и нечетности определяется сдвигом всех гармоник сигнала на p/2, при этом четные сигналы x(t) дают нечетные сигналы
(t), и наоборот. Это действительно и для произвольных сигналов относительно их четных и нечетных частей.Последовательное двойное преобразование Гильберта возвращает исходную функцию с обратным знаком ТН[ТН[x(t)]] = ТН[
(t)] = -x(t). Это определяется тем, что при двойном преобразовании фазы всех гармоники сигнала сдвигаются на p, что изменяет знак их гармоник. Однако в силу исключения из сигнала при первом преобразовании постоянной составляющей, при двойном преобразовании сигнал x(t) восстанавливается с исключенным средним значением по интервалу задания.Обратное преобразование Гильберта, по существу, это второе преобразование в последовательном двойном преобразовании Гильберта с изменением знака результата:
x(t) = ТH-1[
(t)] = - 
= (t) * (-1/pt). (17.2.1)Альтернативная форма вычисления x(t) из
(t):x(t) = TF-1[(j sgn(f)×TF[
(t)]]. (17.2.1')Подобие при изменении масштаба аргумента: ТН[x(at)] =
(at).Энергетическая эквивалентность:
x2(t) dt = 2(t) dt. (17.2.2)Это следует из теоремы Парсеваля (энергия сигнала равна сумме энергии всех частотных составляющих сигнала) и равенства модулей спектров сигналов x(t) и
(t) (энергия сигнала не зависит от его фазовочастотной характеристики).Свойство ортогональности:
x(t)× (t) dt = 0. (17.2.3)Если все косинусные составляющие сигнала x(t) превращаются в ортогональные им синусные составляющие сигнала
, а синусные – в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и 
должны быть ортогональны. Из теоремы Парсеваля следует: x(t)× (t) dt = X*(f)× (f).Функция X*(f)×
(f) = -X*×j sgn(f)×X(f) = -j sgn(f)×|X(f)|2 является нечетной, а поэтому определенный интеграл от этой функции по симметричным относительно нуля пределам равен нулю. Ортогональность сигналов наглядно видна на рис. 17.1.1.Свойство свертки:
TH[x(t) * y(t)] =
(t) * y(t) = x(t) * 
(t). (17.2.4)Это вытекает из следующих соображений. Примем z(t) = x(t) * y(t), при этом:
Z(f) = X(f)×Y(f),
(f) = -j sgn(f)×Z(f) = -j sgn(f) X(f)×Y(f). (f) = [-j sgn(f) X(f)]×Y(f) = 
(t)×Y(f) Û (t) * y(t). (f) = X(f)×[-j sgn(f) Y(f)] = X(f)× 
(f) Û x(t) * (t).Отсутствие коммутативности с преобразованием Фурье:
TF[ТН[x(t)]] ¹ ТН[TF[x(t)]]. (17.2.5)