Тема 17. Преобразование гильберта то, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять (стр. 3 из 3)
Свойство модуляции: Модулирующие сигналы u(t), как правило, имеют ограниченный спектр, максимальные частоты которого W много меньше значения несущей частоты wo, при этом:
ТН[u(t)×cos(wot)] = u(t)×sin(wot). (17.2.6)
Для четных функций u(t) это свойство очевидно. При переходе в частотную область:
ТН[u(t)×cos(wo)] Û -j×sgn(w)×[U(w) * (d(w+wo)+d(w-wo))].
Множитель -j×sgn(w) является знаковой константой по w и может быть внесен под интеграл свертки и умножен на (d(w+wo)+d(w-wo)), что, как уже рассматривалось ранее (см. 17.1.4 – 17.1.6), при обратном преобразовании Фурье дает u(t)×sin(wot).
Аналогично можно показать, что
ТН[u(t)×sin(wot)] = -u(t)×cos(wot). (17.2.7)
17.3. Вычисление преобразования Гильберта [1,2,21].
Преобразование Гильберта аналоговых сигналов целесообразно выполнять не по формулам линейной свертки с оператором 1/pt, который стремится к ¥ при t Þ 0, а через спектр аналитической функции:
z(t) = x(t) + j×
(t) Û X(f) + j× 
(f) = Z(f). (17.3.1)Заменяя в этом выражении функцию
(f) = -j sgn(f)×X(f), получаем:Z(f) = [1+sgn(f)]×X(f), (17.3.2)
где функция 1+sgn(f) равна 0 при f < 0, 1 при f = 0 и 2 при f > 0, при этом:
Z(f) =
, (17.3.2')т.е. спектр функции z(t) является односторонним и устанавливается непосредственно по спектру функции x(t) при f ³ 0 (см. также (17.1.13)). Обратное преобразование Фурье функции Z(f) должно давать комплексную функцию z(t), при этом из (17.3.2') следует:
x(t) = Re [2
X(f) exp(j2pft) df], (17.3.3) (t) = Im [2 X(f) exp(j2pft) df]. (17.3.3')В дискретной форме, при общем числе N отсчетов функции x(t) с шагом Dt, с шагом по частоте Df =1/(NDt):
X(nDf) = Dt
x(kDt)×exp(-j2pkn/N), n = 0,1,...,N/2. (17.3.4)х(kDt) = Df×Re[Xo+2
X(nDf)×exp(j2pkn/N)]. (17.3.5') 
(kDt) = 2Df×Im[ X(nDf)×exp(j2pkn/N)]. (17.3.5)  Рис. 17.3.1. |
На рис. 17.3.1 приведен пример преобразования Гильберта, выполненный через частотную область. Естественно, что при реальном использовании преобразования Гильберта выполнять вычисления по (17.3.5') не требуется.
Оператор дискретного преобразования Гильберта hb(kDt) Ü 1/pt на интервале от -Т до Т с шагом Dt можно получить обратным преобразованием Фурье частотной характеристики Hb(f) (выражение 17.1.3) в интервале от -fN до fN (fN=1/2Dt). При Dt=1:
hb(kDt) =
Hb(f) exp(j2pfkDt) df = 
j exp(j2pfkDt) df - 
j exp(j2pfkDt) df == [1/(2pkDt)]×[1-exp(-jpkDt)-exp(jpkDt)+1] = [1/(pkDt)]×[1-(exp(-jpkDt)+exp(jpkDt)/2] =
= [1/(pkDt)]×(1-cos(pkDt)) = [2/(pkDt)] sin2(pkDt/2). (17.3.6)
hb(kDt) = 2/(pkDt), k = ±1, ±3, ±5, ... , (17.3.6')
hb(kDt) = 0, k = ±0, ±2, ±4, ... .
Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю, а коэффициент усиления дисперсии помех равен 1.
В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(kDf)Ü1/pf не отличается от приведенного для временной области.
литература
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
21. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1993. - 350 с.
Краткое послесловие
ДАВИД ГИЛЬБЕРТ (1862-1943)
Его называют последним всесторонним математиком и учителем математиков 20 века.
Родился в столице Пруссии Кенигсберге незадолго до объединения немецких государств в Германскую империю. Окончил Кёнигсбергский университет лидером среди сверстников в науке. В 1985 году переехал в Геттинген, место паломничества немецкой математической молодежи. В 1895-1930 годах - профессор Гёттингенского университета.
В математике Гильберт был "классиком", поочередно осваивал области математики и заканчивал освоение, написав хороший учебник и прочитав соответствующий курс для студентов. Гильберт был заботлив с учениками, в которых замечал "искру Божью". Но если она угасала, то вежливо советовал им сменить род деятельности. Бездельников полноценными людьми не считал. Гильберт был открытым человеком, семьей Гильберта были его ученики из всех стран Европы и Америки. Гильберт регулярно устраивал совместные чаепития и турпоходы, во время которых математические дискуссии прерывались студенческим трепом обо всем на свете. Для чопорной немецкой профессуры такой стиль общения со студентами был непривычен; но авторитет Гильберта сделал его нормой в Геттингене, а ученики и стажеры разнесли эту норму по всему свету.
Гильберт начал свои исследования с алгебры и 5 лет наводил в ней порядок. После первых алгебраических увлечений интерес Гильберта сместился в две области геометрии: классическую геометрию Евклида и геометрию бесконечномерных пространств, называемую функциональным анализом. За 23 столетия в геометрии Евклида было выявлено достаточно много пробелов. В 1899 году Гильберт предложил новую, логически более совершенную систему из 20 аксиом. Среди векторных пространств Гильберт выделил то, в котором определены расстояние между точками, угол между векторами и предел последовательности точек. Этот аналог евклидова пространства теперь называют гильбертовым пространством.
Успех внушил Гильберту надежду, что в каждой области математики можно ввести полную и строгую систему из необходимых и достаточных определений и аксиом, а вывод всех прочих утверждений можно формализовать. Гильберт сознавал, что эта гипотеза требует тщательной проверки. В качестве контрольного примера он выбрал знаменитую континуум - гипотезу Кантора из теории множеств. Гильберт попробовал доказать недоказуемость континуум – гипотезы, и это ему удалось. Но когда он попытался доказать ее неопровержимость, то потерпел неудачу. Следовательно, континуум-гипотеза является одной из аксиом теории множеств. Как потом подтвердилось, утверждения вроде континуум-гипотезы найдутся в любой системе аксиом, даже в системе Евклида - "пятый постулат" о параллельных прямых. Надежда Гильберта на полную формализацию математики не сбылась. Но Гильберт не огорчался. Природа оказывается богаче, и развитие науки никогда не прекратится!
В новых и бурно развивающихся ветвях математики - теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа, Гильберт выделил одну-две наиболее трудные проблемы, такие как континуум-гипотеза и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел и трансцендентность числа е..., классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений. К концу 20 века все эти задачи либо решены, либо доказана их неразрешимость. Гильберт верно угадал самые перспективные точки развития математической науки.
Как-то молодые ученики спросили Гильберта: решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики? Стареющий профессор ответил вполне серьезно: "Поймать муху на обратной стороне Луны! Сама эта задача никому не нужна. Но если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!"
В последние 10 лет жизни Гильберт бессильно наблюдал распад Геттингенской математической школы под властью нацистов. Их невежественное владычество сдвигало центр мировой научной мысли из Германии на запад, в США. Но в истории науки Давид Гильберт останется самым прозорливым и влиятельным математиком 20 века.
Главный сайт автора ~ Лекции по сигналам ~ Практикум
О замеченных опечатках, ошибках и предложениях: davpro@yandex.ru
Copyright © 2007-2010 Davydov А.V.