Тема 17. Преобразование гильберта то, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять (стр. 1 из 3)
СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Тема 17. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА
То, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять.
Марк Туллий Цицерон. Римский философ и политик, I в.д.н.э.
Однако пока не создано строгой математической теории чудес, приходится наоборот не удивляться, когда они не осуществляются, и удивляться, когда они осуществляются.
Николай Пятин. Воронежский геофизик Уральской школы, XX в.
Содержание:
1. Сущность преобразования Гильберта. Определение преобразования Гильберта. Спектральная характеристика преобразования Гильберта. Изменение спектра сигналов при выполнении преобразования Гильберта. Спектры каузальных функций.
2. Свойства преобразования Гильберта. Линейность. Сдвиг. Преобразование константы. Свойство четности и нечетности. Последовательное двойное преобразование. Обратное преобразование Гильберта. Подобие. Энергетическая эквивалентность. Свойство ортогональности. Свойство свертки. Свойство модуляции.
3. Вычисление преобразования Гильберта. Преобразование Гильберта аналоговых сигналов. Оператор дискретного преобразования.
введение.
Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90о (сдвиг на p/2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов, выполнять анализ каузальных систем обработки сигналов.
Давид Гильберт (Hilbert, 1862-1943), немецкий математик. Окончил Кенигсбергский университет. В 1895-1930 годах профессор Геттингенского университета. Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете содействовала тому, что Геттинген являлся одним из основных мировых центров математической мысли.
17.1. сущность Преобразования Гильберта [1, 2, 21].
Определение преобразования. Прямое преобразование Гильберта произвольной действительной функции x(t), -¥ < t < ¥, результат которого будем отображать со знаком тильды над индексом исходной функции, задается сверткой x(t) с функцией hb(t) = 1/(pt):
(t) = ТН[x(t)] = x(t) * (1/pt), (t) = 
. (17.1.1)Функция 1/(t-t) называется ядром преобразования Гильберта. Обратное преобразование Гильберта определяется выражением:
x(t) = -
(17.1.1')  Рис. 17.1.1. |
Интегралы преобразования имеет особую точку a = t-t Þ 0, в которой при вычислении используется их главное значение по Коши:
[ 
... + 
...].Оператор Гильберта определен по аргументу от -¥ до ¥ и имеет полюс в точке t=0 с разрывом значений от -¥ до ¥. Основной участок формы оператора Гильберта и пример преобразования сигнала приведены на рис. 17.1.1. Функции x(t) и
(t) обычно называют сопряженными по Гильберту.Спектральная характеристика преобразования. Выполним преобразование Фурье функции (17.1.1). В общей форме:
(f) = TF[ (t)] = X(f) × Hb(f), (17.1.2) (f) = 
(t) exp(-j2pft) dt. (17.1.2')Заметим, что произведение X(f)×Hb(f) не является преобразованием Гильберта спектральной функции X(f). Это не более чем преобразование Фурье свертки функций: x(t)*hb(t) Û X(f)×Hb(f), которое позволяет вычислить результат преобразования Гильберта во временной области через частотную область:
(t) = (f)×exp(j2pft) df = X(f)×Hb(f)×exp(j2pft) df .  Рис. 17.1.2. |
Функция hb(t)=1/pt является нечетной, а спектр этой функции, представленный только мнимой частью, является обратной сигнатурной функцией (рис. 17.1.2):
Hb(f) = TF[1/pt] = -j×sgn(f) =
(17.1.3)  Рис.17.1.3. |
Соответственно, формулы (17.1.1) задают преобразование сигнала x(t) системой, частотная передаточная характеристика которой отображается функцией -j×sgn(f). Фурье-образ функции
(t): (f) = -j sgn(f)×X(f). (17.1.2")Изменение спектра сигналов при выполнении преобразования Гильберта. На рис. 17.1.3 приведено преобразование радиоимпульсного сигнала x(t) с несущей частотой fo в сигнал
(t) во временной области непосредственно через операцию свертки по (17.1.1). Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т.е. может быть записан в виде X(w) = Re(X(w)) + j×Im(X(w)). Эти составляющие для сигнала x(t) показаны непрерывными кривыми на рис. 17.1.4.  Рис. 17.1.4. |
При выполнении преобразования (17.1.2") реальная и мнимая части спектра X(w) умножаются на -j×sgn(w). Функция Re(X(w)) умножается на 1 при w<0, на 0 при w=0 и на –1 при w>0, и тем самым превращается в нечетную мнимую часть Im(
(w)) спектра (w) функции (t), показанную пунктиром. Это означает, что все косинусные гармоники сигнала, которым соответствует реальная часть спектра сигнала, превращаются в синусные гармоники.Аналогично на функцию -j×sgn(w) умножается и мнимая функция j×Im(X(w)), при этом сигнатурная функция инвертируется (-j×j = 1), что меняет знак левой части функции Im(X(w)) – области отрицательных частот, и превращает ее в реальную четную часть Re(
(w)) спектра (w). Синусные гармоники спектра сигнала превращаются в косинусные гармоники.Угол, на который изменяется фаза гармоник, можно определить из следующих соображений. Частотную характеристику Hb(f) (17.1.3) можно записать в следующем виде:
Hb(f) = |Hb(f)|×exp(jjh(f)), где |Hb(f)| = 1.
Hb(f) = -j×sgn(f) =
, (17.1.3')Если спектр функции x(t) также представить в виде
X(f) = |X(f)|×exp(jjx(f)),
то выражение (17.1.2) преобразуется к следующей форме:
(f) = |X(f)|×exp(jjx(f))×exp(jjh(f)) = |X(f)|×exp[j(jx(f)+jh(f))], (17.1.2''')т.е. амплитудный спектр сигнала
(t) – как результат преобразования Гильберта сигнала x(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала x(t). Фазовый спектр сигнала (t) (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90о при f > 0 и на 90о при f < 0 относительно фазового спектра сигнала x(t). Но такой фазовый сдвиг и означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Последнее нетрудно проверить на единичной гармонике.Если x(t) = cos(2pfot), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:
(t) = H[x(t)] Û TF[H[x(t)]] = -j sgn(f)×[d(f+fo)+d(f-fo)]/2. (17.1.4) (f) = -j×[-d(f+fo)+d(f-fo)]/2 = j·[d(f+fo)-d(f-fo)]/2. (17.1.5)