Стратегическое направление математических исследований во многом определяется прогрессом в решении стоящих перед этой наукой фундаментальных проблем и наличием перспективных приложений, разрабатываемых в сфере теоретической математики.
В первую очередь следует отметить роль математики и информационных технологий в системе образования. Известно, что фундаментальная наука является необходимым компонентом системы образования на всех ее стадиях – от начальной школы до аспирантуры и докторантуры. Поэтому совершенно недопустимо снижение роли науки вообще и математики, как основы естественных наук в особенности, в образовательном процессе. Причем, именно хорошая подготовка в области фундаментальных наук приводит к спросу на отечественных специалистов за рубежом.
В конце ХХ в. одно из центральных мест в математике заняла алгебраическая геометрия. Во многом это произошло благодаря ее тесным связям с другими направлениями математики, в первую очередь, с теорией чисел и математической физикой.
Интенсивные исследования ведутся в бирациональной классификации алгебраических многообразий размерности больше 3, в частности, в программе минимальных моделей. В ближайшее время получит обоснование теория мотивов и будет завершена классификация циклов. Исследования также проводятся в алгебраической К-теории.
Потребностями теоретической физики, во многом, определяется прогресс в некоммутативной алгебраической геометрии и теории векторных расслоений.
В алгебраической теории чисел многие математики работают над доказательством известных гипотез о дзета-функциях алгебраических многообразий, в которых определяющую роль должна сыграть адельная теория. В теории диофантовых уравнений будет найдено эффективное доказательство гипотезы Морделла и получены ее обобщения на многообразия высших размерностей.
Весьма перспективными представляются приложения неархимедовых метрик и пространств в физике (квантовая оптика), биологии (описание динамики белковых молекул и других иерархических систем), а также гуманитарных науках (экономика, социология, когнитивная наука).
В аналитической теории чисел главной проблемой остается гипотеза Римана о нулях дзета-функции. Исследования в этой сфере, безусловно, приведут к новым результатам о характере распределения простых чисел.
Исследование трехмерных многообразий с помощью потоков Риччи, приведшее к доказательству гипотез Пуанкаре и Терстона (известный результат Г.Я. Перельмана), открыло новое направление в трехмерной топологии, бурное развитие которого ожидается в ближайшие годы. Известной проблемой топологии остается описание гомотопических групп сфер. Кроме этого, важной задачей, определяющей развитие современной топологии, является классификация особенностей и узлов. Подробное исследование инвариантов Дональдсона и Зайберга-Виттена и открытие новых, еще не известных науке, инвариантов гладких многообразий позволит получить классификацию четырехмерных симплектических многообразий. Большое внимание привлекают достижения асимптотической геометрии и теории квазиизометрических отображений, полученные в последние годы.
В теории функций вещественных переменных одну из центральных ролей играет теория приближений. Наряду с традиционными приближениями – полиномами (алгебраическими и тригонометрическими) используются разложения по другим системам функций (в качестве примера упомянем теорию всплесков). Новые задачи в этой области будут возникать на стыке с другими областями математики (такими, как теория чисел и комбинаторика), а также диктоваться приложениями вещественного анализа и теории приближений в теории хранения, передачи и поиска информации (например – глобальные поисковые системы в Интернете).
Последние десятилетия ХХ в. характеризовались активным проникновением методов комплексного анализа в дифференциальную и, особенно, симплектическую геометрию (исследования Громова, Дональдсона и др.). С другой стороны, такие классические атрибуты комплексного анализа, как пространства Тейхмюллера римановых поверхностей, комплексные структуры и т. д. стали обычным инструментом в арсенале современной теоретической физики. Теория приближений аналитических функций нашла свое применение не только в физике, где использование аппроксимаций Паде можно уже считать традиционным, но и в теории чисел, теории информации и т. д. В многомерном комплексном анализе возникло новое направление, связанное с объединением комплексной дифференциальной геометрии, топологии и симплектической геометрии, с одной стороны, и математической физики, с другой.
Развитие функционального анализа определяется его приложениями в механике и теоретической физике. Благодаря теории струн особое значение приобрела теория представлений бесконечномерных групп Ли. Квантовые группы и более экзотические алгебраические структуры постоянно возникают в работах физиков и требуют от математиков их тщательного изучения.
В теории динамических систем произошел переход от исследования нелинейных колебаний систем с конечным числом степеней свободы к изучению систем с распределенными параметрами (автоволны). Актуальным направлением в теории динамических систем является сопоставление регулярного и хаотического поведения в сложных системах. В частности, большое внимание привлекает исследование хаотической динамики бесконечномерных гамильтоновых систем. В перспективе речь идет о построении математической теории хаоса. Указанные исследования смыкаются с изучением системы уравнений Навье–Стокса.
Исследование интегрируемых систем ныне превратилось в одно из стратегических направлений современной теории уравнений с частными производными. Развитие этого направления связано с дальнейшим исследованием уравнения Кадомцева–Петвиашвили и других многомерных интегрируемых систем. Важное значение имеет и изучение эволюции медленных переменных в системах, близких к интегрируемым (диффузия Арнольда).
В математической теории оптимального управления и теории диффе-ренциальных игр в последнее время вызывают повышенный интерес задачи, возникающие в физике, биологии и экономике. Они стимулируют дальнейшее развитие методов оптимального управления системами с распределенными параметрами, системами с бесконечным временным горизонтом, системами с импульсными управлениями, гибридными системами и т. д.
Одной из основных задач, стоящих перед теоретической и математической физикой, является построение математической теории калибровочных полей с применением к единой теории взаимодействия элементарных частиц (хотя для полного решения этой задачи потребуется, возможно, не одно десятилетие). Другим направлением, значительно активизировавшимся в последнее время, является изучение процессов, лежащих в основе строения и развития Вселенной.
Некоммутативная теория вероятностей приобретает особое значение в связи с приложениями в квантовой информатике. Это новая научная дисциплина, изучающая способы хранения, передачи и переработки информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. На ее основе разрабатываются обоснованные принципы рационального и помехоустойчивого дизайна указанных систем. Квантовая теория информации тесно связана с изучением вероятностей на некоммутативных алгебраических структурах, асимптотической теорией случайных операторов и матриц и т. д. Важное значение приобретает изучение динамических (в частности, марковских) моделей квантовых каналов с памятью, основанных на принципах теории открытых квантовых систем, и методов нахождения их информационных характеристик. Все большее внимание будет уделяться системам с непрерывными переменными, основанным на принципах квантовой оптики. Многие эксперименты по квантовой обработке информации, включая сверхплотное кодирование и телепортацию фотонных состояний, а также квантовые криптографические протоколы, реализуются в подобных системах.
Помимо этого дальнейшее развитие получат традиционные области теории вероятностей: стохастическое дифференциальное и интегральное исчисление, теория мартингалов и т. д. Будут развиваться и применения этих методов в биологии (например, при расшифровке генома человека), финансовой и страховой математике, экономике (например, при построении моделей финансовых рынков).
Одной из принципиальных задач в направлении развития взаимодействия человека и компьютера является создание квантового компьютера. Дальнейший прогресс в теории квантовых вычислений, возникший после работы Шора, относящейся к теории вычислительной сложности, во многом связан с практическими проблемами, возникающими при решении указанной задачи.
В сфере математического моделирования и вычислительной математики отечественные специалисты находятся на одном уровне со специалистами ведущих стран.
Разработка современной модели климата является чрезвычайно сложной задачей, требующей кооперации многих исследовательских коллективов. Разработанная в РАН модель включает углеродный цикл, химические трансформации малых газовых примесей, систему четырехмерного усвоения данных для атмосферы и Мирового океана.
Активно реализуется проект «Фобос-Грунт», предназначенный для доставки на Землю реликтового вещества с Фобоса – спутника Марса. Создан Центр по сбору измерительной информации об объектах техногенного происхождения в околоземном космическом пространстве. Существенные достижения достигнуты и в технологии создания автономных подводных роботов, алгоритмах анализа зрительной информации на автотрассах и др.