Автор Рыбаков Д. А (стр. 3 из 5)

[6,C137] Пусть А является произвольным множеством АÌÂⁿ. Рассмотрим последовательность шаров r_i < e , i=1,2,3….. , которые покрывают А.

Используя обобщеную формулу объема (или меры в общем случае) шара запишем

Феликс Хаусдорф смог доказать, что существует единственное вещественное число d, для которго S ¹ 0 и S ¹ ¥ при e®0 . Свой вклад в строгое доказательства теоремы внес Абрам Безикович, поэтому размерность d называется размерность Хаусдорфа-Безиковича.

В начале эта величина не вызывала большого интереса у ученых. Но в последующем она сыгарала важную роль в математике фракталов. В математическов литературе она обозначается как dim_H(A).

Компютерные модели фракталов

Для большинства физических приложений исследуются одно, двух и трех – мерные множества. Наиболее удобными являются покрытия с помощью отрезков, квадратов или кубов в виде ломанной линии, сетки или решетки соответственно. С помощью ЭВМ невозможно представить фрактал полностью во всех его деталях. Обычно точность вычислений не превышает несколько десятков знаков после запятой, что не позволяет представить мелкие или очень крупные части. Фрактал в ЭВМ можно представить как минимум тремя способами. Приведенное ниже описание легко обобщается на случаи большей размерности.

1) Клеточный, решетчатый или растровый способ. В этом способе пространство представлено в виде програмного массива чисел. Например : var space : array [1..L,1..L] of boolean; Если space[i,j] = true значит элемент принадлежит фракталу и наоборот. i,j – целые числа.

2) Векторный способ. Это более точный способ. Элементы фрактала представлены в виде элементарных фигур, которые задаются векторно. В этом случае для того, что бы определить, принадлежит ли точка (x,y) необходимо перебрать элементы фрактала и вычислить, попадает эта точка хоть в один элемент. x и y – числа с плавающей точкой.

3) Функциональный способ. В данном способе что бы определить принадлежит ли точка (x,y) необходимо вычислить функцию F(x,y) и проанализировать полученное значение. На самом деле все способы сводятся к функциональному способу. Просто, некоторые функции могут вычислятся аналитически, а некоторые обращаться к массивам данных для получения результата. Мы будем ссылаться на этот метод имея ввиду, что исползуются аналитические функции.

Большинство задач на момент написания реферата использует клеточный (растровый) метод №1 для моделирования множеств. Этот метод обладает несколькими недостатками. Для детального моделирования требуется Lⁿ клеток. Где L – количество клеток в одном измерении n-количество измерений. Современная мощность компьютеров позволяет беспрепятственно моделировать 2х-мерные множетва. Для них L~ 10³ . Для моделирования 3х мерных множеств требования к ОЗУ резко возрастают. Для таких задач L ~ 100, что явно недостаточно для полноценного моделирования. Альтернативой клеточной модели может служить векторная модель.

Для моделирования 3х-мерных физических стохастических фракталов применим векторный метод. Растровый метод вообще мало применим для 3х мерного моделирования. А аналитические функции, описывающие что-либо физическое стохастическое достаточно редки. Можно придумать пример, основанный на алгоритмах генерации случайных чисей, которые при одних и тех же (х,у,z) возвращают одинаковые значения. Например: F(x,y,z) = f(x,y,z) + MD5(x,y,z, r), где f – аналитическая функция, r – константый случайный параметр, MD5 – функция вычисления MD5 суммы. Но этот способ требует тщательного вероятностного анализа получаемых значений что бы результат был близок к какой-нибудь физической задаче.

Применимость методов моделирования.

Растровый метод	Векторный метод	Функциональный метод
Геометрические фракталы	В основном 2х мерные задачи	применим	применим
Алгебраические фракталы	В основном 2х мерные задачи	применим	применим
Стохастические фракталы	В основном 2х мерные задачи	применим	мало применим

Так же кратко стоит упомянуть о методах постоения фрактала. Для постоения геометрических фракталов используется Система Итерируемых Функций. Для алгебраических используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами. Для стохастических, все зависит от природы фрактала и сотношения закономерности и случайностей.

Вычисление размерности Минковского с помощью ЭВМ

Следует отметить, что описанным ниже способом вычисляется не только размерность Минковского, но и Хаусдорфа, хотя для некоторых множеств(например для счетных множеств) эти размерности, вычисленные аналитически могут отличаться [КОН 135]. Но в большинсте важных случаев эти размерности совпадают.

За основу берется формула зависимости количества кубов N от длины грани куба e при малых e в покрываещем множестве.

ln const – ln N(e) » d ln e

Как видно из формулы, если построить график зависимости ln N от ln e , то получится прямая с наколном d.

Разберём алгоритм на примере 2х мерного случая. Эта процедура используется для анализа изображений. Большинство изображений представлены в растровом виде, то есть в виде двухмерного массива [6].