Г. П. Прокопов Оприближенных реализациях (стр. 2 из 8)
Используя формулы (1.6)-(1.8), имеем:
(1.11)
Чтобы рассматриваемая упрощенная схема описывала реальное физическое течение, согласно постулату о неубывании энтропии должны быть одновременно выполнены два условия:
(1.12)
, 
.§ 2. Фронт разрыва – возможный источник убывания энтропии.
2.1. В качестве первого примера рассмотрим схему С. В [2] для нее предлагается задавать массовые скорости формулами:
(2.1)
,
где с1,с2 - скорости звука, вычисляемые с помощью (1.2).
Если ввести величины
(2.2)
, 
,они записываются в виде (см. [1], с.8):
(2.3)
, 
, 
В случае
- «разбегающихся» потоков с точки зрения системы координат, движущейся со скоростью 
, - будем иметь 
и, следовательно,(2.4)
, 
.В [1] было показано, что уже для частного случая распада разрыва с симметричными данными в некоторых ситуациях на разрывах может уменьшаться энтропия. Этого уже достаточно для тревоги относительно физической реализуемости, а, следовательно, достоверности получаемых результатов.
Заметим, что формулы (2.4) предлагались как альтернативный вариант задания массовых скоростей в работе [3] наряду с (2.1). Поскольку в случае разбегающихся потоков они совпадают, примеры убывания энтропии годятся и для варианта (2.4).
В случае
- «встречных» потоков – из (2.3) получаем(2.5)
, 
.Исследование в [1] для симметричного распада разрыва показало, что эти формулы в случае встречных потоков обеспечивают возрастание энтропии, но только при дополнительном предположении
. 2.2. В [1] предлагался вариант улучшения схемы С посредством введения дополнительных параметров, названный условно СП-схемой. Для «спасения» энтропии предлагалось массовые скорости задавать формулами, обобщающими (2.3):
, , 
.Параметры
предлагалось назначать некоторыми специальными формулами, полученными при рассмотрении симметричного варианта распада разрыва.Однако, нетрудно убедиться, что в случае асимметричного распада разрыва
обеспечить выполнение обоих условий (1.12) неубывания энтропии для произвольных значений параметров 
, 
невозможно.Проще всего это подтверждается в случае, если
. Это позволяет сразу исключить роль . Получаем, как и в случае (2.4), , 
, и формулы (1.6) приобретают вид:
, 
.Если
, то 
, 
.В соответствии с (1.11) рассмотрим функцию
(2.6)
.Если величина а не зависит от параметра q , для ее производной получаем формулу:
.В точке q=0 будем иметь:
, 
Отсюда легко получается, что, по крайней мере, на слабом разрыве
, если 
, а следовательно 
.Если ограничиться случаем слабых разрывов, можно было бы воспользоваться приближенной формулой
Тогда, в соответствии с формулой (2.6), получаем:
(2.7)
.Отсюда очевидно следует, что для достаточно слабого разрыва
, если 
и 
или при любом 
для 
. Возможны и другие ситуации, когда , если «положительного запаса» первого слагаемого недостаточно для «нейтрализации» отрицательного второго.Старательные оговорки автора в [1] на стр.22-23 о необходимости тщательной проверки «улучшенной» схемы в численном эксперименте, который может обнаружить скрытые недостатки СП-схемы, к сожалению, подтверждаются и без эксперимента.
2.3. Подводя итог изложенному, можно констатировать, что замена течения в области волны разрежения фронтом разрыва может приводить к тому, что на этом разрыве убывает энтропия. Такое течение следует считать физически нереальным. Подчеркнем, что это может происходить при сколь угодно близких значениях параметров в соседних ячейках.
Автору представляется уместным следующее замечание. В словаре русского языка [6] на стр.1128 читаем: «Фикция – положение, построение, которому ничто не соответствует в действительности, но которым пользуются как допущением с какой-нибудь определенной целью».
Именно такой фикцией может оказаться результат расчета распада разрыва при использовании упрощенной схемы течения.
§ 3. О единственности решения и выполнении уравнения
состояния.
3.1. Корректность математической постановки задачи, гарантирующая успешную работу вычислительного алгоритма, в качестве неотъемлемых элементов включает существование и единственность искомого решения. Для точного расчета распада произвольного разрыва эта серьезная проблема обсуждалась, и мы не будем на ней останавливаться. (Во избежание недоразумений отметим, что в ситуации, если, например, задача имеет два решения – как в случае сильного и слабого отражения волн – алгоритм должен предусматривать, какое именно решение будет искомым).
Запрет ударных волн разрежения как дополнительное требование, накладываемое на обобщенное решение системы газодинамических уравнений для обеспечения его единственности, появилось в [7], опубликованной еще раньше, чем [4].Пример, представленный в [5] на стр.115-116, о распаде разрыва с симметричными данными относительно границы раздела, является иллюстрацией такой ситуации.
Как показано в предыдущем § 2, схема С в качестве вспомогательного инструмента, именуемого приближенным решением задачи Римана, может привлекать разрывы, на которых энтропия убывает. Фактически это могут быть физически нереальные течения.
Наряду с единственным реальным обобщенным решением (которое дает точный расчет распада разрыва) таких фикций может существовать сколько угодно. Достаточно априорно задать пару массовых скоростей – и пожалуйста. Эта фикция потом «лакируется пересчетом» и может давать внешне прекрасный результат. Не будем обсуждать достоинств формул (2.1) – они, конечно, есть.
Но как все-таки быть с единственностью? Как быть, если используя другие формулы для массовых скоростей, получится другой результат для некоторой важной характеристики рассчитываемой конструкции (например, о роли ее конкретной детали)? Апеллировать к точному расчету распада разрыва? Не лучше ли действовать так сразу (причем разумно распоряжаясь закладываемыми в него возможностями экономить время конкретного расчета – позже вернемся к обсуждению этого вопроса)?