Г. П. Прокопов Оприближенных реализациях (стр. 3 из 8)
3.2. У схемы С есть еще одно уязвимое место. В [2] отмечается как ее достоинство тот факт, что величины
, по которым вычисляется вектор потока на границе ячеек, получаются без привлечения уравнения состояния.Более того, в [3] на стр.155 читаем: «Отсутствие необходимости использования уравнения состояния для определения вектора потока на границе ячеек… облегчает приложение предложенной схемы к сложному уравнению состояния газа с переменными свойствами. Поэтому первоначально данный метод успешно применялся для расчета струйных течений реагирующих газов на основе решения уравнений Навье-Стокса».
А вот это уже серьезное и обязывающее заявление. Поскольку из трех величин R,P,E независимыми являются только две, то ситуация далеко не столь проста. Параметры в зонах с номерами 3 и 4 должны удовлетворять уравнению состояния (1.1):
(3.1)
, 
.Если подставить в эти формулы выражения, представленные в (1.3)-(1.4), то получаются два соотношения, которые следует рассматривать как уравнения для величин массовых скоростей а1,а2. Именно они и определяются в ходе итерационного процесса для расчета точного распада разрыва (естественно, если этот процесс сходится).
Высказывание в [2] о том, что точное вычисление массовых скоростей не требуется в силу выполнения соотношений на разрыве, можно оправдать только тем обстоятельством, что ставится цель получения лишь приближенного решения. Никаких оснований ожидать выполнения (3.1) при априорном («волевом») назначении массовых скоростей, вообще говоря, нет.
3.3. Каковы могут быть последствия невыполнения условий (3.1)? Фактически это означает, что при последующей реализации формул «пересчета» будет происходить «смешивание» нескольких газов, удовлетворяющих не уравнению состояния (1.1), а, условно говоря, различным. А результирующему газу снова «навязывается» уравнение состояния (1.1). Вопрос о том, насколько корректна такая процедура (при ее систематическом употреблении), остается открытым. Вычислительный опыт в таких ситуациях обычно допускает конструирование неблагоприятных примеров.
Возможно, иллюстрацией к обсуждаемому вопросу могут служить результаты расчета теста 2 в упомянутых работах [2]-[3]. В нем рассматривался симметричный разлет двух газов с параметрами
, 
, 
, 
. При этом образуются сильные волны разрежения.График внутренней энергии, полученный для разностного счета, настолько сильно отличается от аналитического решения, что ставит под сомнение уравнение состояния. Гипотеза состоит в том, что выполненный расчет в зоне сильного разрежения фактически реализует, условно говоря, некоторый «эффективный» показатель адиабаты, отличный от заданного значения g, несмотря на то, что в расчетных формулах только оно и присутствует. Мы еще раз вернемся к этим результатам позже (в § 7).
Заметим, что при реализации схемы С.К.Годунова с точным расчетом распада разрыва, описанным в монографии [5] на стр.110-115, подобная ситуация не допускается. Во-первых, величина Е досчитывается по Р и R именно с привлечением уравнения состояния. Во-вторых, в случае доведения итерационного процесса до сходимости, будут удовлетворены точные соотношения на ударных волнах или волнах разрежения, т.е. реализованы единственные правильные значения их массовых скоростей. В таком случае результаты вычисления внутренних энергий по формулам (3.1) и (1.4) просто совпадают.
3.4. Автор считает уместным в связи с обсуждаемым вопросом напомнить о давней работе [8], которая представляет текст доклада С.К.Годунова на IV Всесоюзном математическом съезде в 1961 году. В ней, в частности, на стр.157 приведен пример, показывающий, что последовательность решений уравнений газовой динамики в форме законов сохранения, удовлетворяющих уравнению состояния, может иметь предел, уравнению состояния не удовлетворяющий. В те времена становления прикладной математики проблема существования представлялась чрезвычайно важной и была предметом серьезных дискуссий. Приведем цитату с той же стр.157: «…Имеющийся в нашем распоряжении опыт работы с кусочно-гладкими аналитическими решениями относится только к случаю с конечным числом областей гладкости. Однако даже если в начальных данных содержится всего 3-4 разрыва, может случиться, что в дальнейшем число этих разрывов будет увеличиваться с течением времени по геометрической прогрессии и станет бесконечным уже при конечных t. Произойдет как бы сгущение особенностей. Никакого опыта в изучении таких сгущений у нас нет. Продолжимо ли решение за это сгущение?…»
Не удивительно поэтому, что разностный алгоритм может выдавать «острую реакцию», отражающую реально складывающуюся в рассчитываемом течении. Так ли уж правильно заранее заботиться о сглаживании всех возникающих эффектов, исходя из соображений «монотонизации» искомого решения?
Конечно, сейчас вычислительного опыта накопилось существенно больше. Однако окончательного ответа на такого рода вопросы, по-видимому, так и не появилось.
§ 4. Алгоритм приближенного расчета распада разрыва.
Исходя из изложенных выше соображений, автор считает целесообразным описать один из возможных алгоритмов приближенного расчета распада разрыва, не допускающий убывания энтропии. Конечно, многие его детали уже описывались и в монографиях [5], [9] и в работах других исследователей. Автор считает своим долгом отметить также [10], на которую обратил внимание при подготовке настоящей работы, благодаря ссылке на стр.170 монографии [9]. Для полноты и связности изложения известные уже детали придется повторить. Но некоторые элементы являются новыми и могут представлять практический интерес. Особое внимание уделено аргументации предлагаемых решений.
4.1. Итак, в качестве исходной информации задаются:
- параметры течения в соседних ячейках
, 
;- три термодинамических параметра
связывает уравнение состояния (1.1) с заданным показателем адиабаты g; вопрос о более сложных уравнениях состояния будет обсуждаться позже (в § 5);- задается безразмерный параметр
, который будет играть роль критерия применимости «звукового приближения».4.2. Расчет начинается с вычисления скоростей звука
(4.1)
, 
и «пробного» назначения массовых скоростей
(4.2)
, 
Заметим, что «волевое» назначение массовых скоростей a1,a2 – операция достаточно ответственная и достигает цели только в случае, если обеспечивает достаточно аккуратную аппроксимацию исходных уравнений. Поэтому из возможных различных вариантов, упоминавшихся ранее, выбирается именно этот, поскольку представляет математически обоснованную линеаризацию уравнения для давления Р:
(4.3)
Отметим, что это предлагалось, например, в [5] на стр.113.
4.3. В соответствии с изложенным в § 1, вычисляем
по формулам (1.6).Если выполняются два условия:
(4.4)
, 
,полагаем, что достаточным является «звуковой» расчет распада разрыва. В этом случае, в соответствии с (1.7), назначаем:
Для оценки изменения энтропии можно воспользоваться приближенной формулой (2.7):
(4.5)
Очевидно, что совершенно аналогично:
Следовательно, при выполнении условий (4.4) получаем:
(4.6)
, 
.Если «примириться» со столь незначительным (при достаточно малом значении параметра
) убыванием энтропии, можно вычислять величины r3,r4 по формулам (1.8), величины е3,е4 – по формулам (1.4), величины D1,D2 – по формулам (1.5). Это те формулы, которые предлагались в схеме С, однако со следующим существенным замечанием. Именно благодаря назначению a1,a2 по формулам (4.2) достигается обращение в нуль первого слагаемого в формуле (4.5). При назначении a1,a2 формулами (2.1) или (2.4), по крайней мере, для одной из величин 
этого не будет, и она будет иметь не второй, а лишь первый порядок относительно 
(вот где сказывается аппроксимация!). Соответственно, «энтропийный шум» при назначении (2.1) или (2.4) будет больше, чем при назначении (4.2).