Г. П. Прокопов Оприближенных реализациях (стр. 4 из 8)
К вопросу о допустимости, хотя и незначительного, но все же убывания энтропии мы еще вернемся.
Ситуацию (4.4) для краткости будем дальше называть «звуковым приближением» для распада разрыва.
4.4. Если хотя бы одно из условий (4.4) не выполнено, придется применять более сложный алгоритм вычисления величины Р.
Как описано в [5] на стр.110 (см. также [9], стр.168), она должна удовлетворять уравнению:
(4.7)
,где для значений индекса k=1,2:
(4.8)
, 
Для упрощения описания алгоритма предполагается, что
(см.[5], стр.111). 4.5. Начинаем (см. замечание ниже в разделе 5.3) с вычисления величин, определяющих «содержание» конфигурации распада разрыва.
(4.9)
Возможны следующие ситуации:
10 если
, то решения уравнения (4.7)-(4.8) не существует: образуется зона вакуума, в которой следует полагать Р=0, R=0, более подробное рассмотрение этого случая можно найти в [11];20 если
, то искомое решение находится в интервале 
, т.е. образуются две волны разрежения;30 если
, то 
; слева имеем ударную волну, справа – волну разрежения;40 если
, то 
; образуются две ударные волны.Случаи равенства
значениям 
или 
сознательно не оговариваются, чтобы при программной реализации (см. ниже раздел 5.3) охватывать их при «первой возможности».4.6. Начнем с ситуации
с образованием двух волн разрежения. Тогда уравнение для давления Р имеет вид:
Легко видеть, что из него явно определяется величина
и поэтому сразу выписывается формула для его решения:(4.10)
Эта формула приведена в [5] на стр.114 и в [10] на стр.44. Можно было бы считать это исчерпывающим решением для рассматриваемой ситуации, если бы не следующее обстоятельство. При работе со сложными уравнениями состояния приходится, например, прибегать к их локальной аппроксимации двучленными уравнения состояния. Тогда параметры
(а с ними и другие параметры) оказываются различными для индексов 1 и 2. Поэтому описанный способ становится неприемлемым и придется прибегнуть к другому алгоритму. К его описанию применительно к следующей ситуации мы и переходим. К рассматриваемой ситуации вернемся после нее. 4.7. Пусть
. Тогда 
и уравнение (4.7) будет содержать обе разновидности формул (4.8). Предлагается следующий алгоритм его приближенного решения. Аппроксимируем F(P) линейной функцией 
, принимающей нужные значения на концах отрезка:
, 
.Очевидно, что
имеет вид:
Далее решение линейного уравнения
принимаем в качестве приближенного искомого решения. В качестве полезного практического совета в [10] на стр.45 рекомендуется поменять роли переменных Р и j и сразу определять обратную зависимость Р от j :
Тогда искомый приближенный корень определяется формулой:
(4.11)
В [10] на стр.45 говорится, что «не представляет сложности и повысить точность интерполяции, используя значения производных
в этих же точках, при этом удобно интерполировать полиномом третьей степени зависимость 
».К сожалению, это не совсем так. Формально действительно трудностей нет (соответствующий полином можно найти в курсах вычислительной математики). Однако он достаточно громоздок и (ввиду его единственности) должен иметь вид:
(4.12)
,где коэффициенты А,В определяются условиями, чтобы производные этого полинома принимали заданные значения в точках на концах отрезка:
, 
.Естественно, значения
, 
для функции 
, определяемой формулами (4.7)-(4.8), выписанные в [5] на стр.111, должны быть предварительно вычислены.Для определения А,В получается система двух линейных уравнений и, конечно, она легко решается. Но выписывать формулы мы не будем, поскольку при произвольных значениях
и соответствующих им значениях 
гарантировать монотонность полинома (4.12) на интервале 
не представляется возможным. А без этого его практическая ценность весьма сомнительна.Для описанного выше варианта линейной интерполяции вопрос о монотонности очевиден. Таким образом, весь расчет в случае
сводится к формуле (4.11).Напомним, что такой прием мог быть использован и в предыдущем разделе 4.6. Тогда вместо точной формулы (4.10) возникла бы приближенная, которая получается из (4.11) заменой р2 на р0=0, т.е. формулой:
(4.13)
.Как ни удивительно, она должна приближенно заменить (4.10).
4.8. В [5] на стр.111 были обоснованы свойства монотонности и выпуклости каждого из двух слагаемых в левой части уравнения (4.7)-(4.8). Поэтому наряду с описанной линейной интерполяцией естественный интерес представляет также интерполяция в виде параболы, проходящей через точки
, 
, 
, причем именно в виде обратной зависимости Р(j). Тогда она определяется формулой:(4.14)
Искомое приближенное значение Р, отвечающее значению
, будет определяться формулой: