Г. П. Прокопов Оприближенных реализациях (стр. 5 из 8)
(4.15)
Эта формула может использоваться на всем интервале значений
. С точки зрения точности она предпочтительнее, чем (4.11) и (4.13). Исключение составляют «вырожденные» случаи:если
, то предпочтительнее (4.11),если
, то предпочтительнее (4.13).Условие
можно практически реализовывать, например, как 
, условие , как 
. 4.9. Обратимся теперь к ситуации
. Тогда 
и образуются две ударные волны.Положение осложняется тем, что Р может быть сколь угодно велико (при достаточно больших значениях
). Наряду с описанием итерационного процесса решения соответствующего этому случаю уравнения(4.16)
,в монографии [5] на стр.113-114 и в [9] на стр.169-170 обсуждался вопрос о замене его приближенным квадратным уравнением.
Еще один интересный вариант получения квадратного уравнения предложен в [10] на стр.45. (При его описании будем иметь в виду необходимость обобщения на случай различных значений g1 слева и g2 справа). Запишем уравнение (4.16) так:
(4.17)
,введя вспомогательные обозначения:
(4.18)
, 
,
Заметим, что множитель Q близок к единице, так как р1 и р2 не превышают Р. Если этот множитель опустить, (4.17) превращается в уравнение
(4.19)
Оно сводится к квадратному и легко решается.
Заметим далее, что точно таким же приемом получается уравнение:
(4.20)
Ввиду уже упоминавшихся свойств монотонности и выпуклости каждого из двух слагаемых в левой части уравнения (4.16) нетрудно обосновать, что (4.19) и (4.20) дают для его искомого корня приближения снизу и сверху соответственно. Можно было бы, например, использовать это для контроля точности определения корня (и, в зависимости от этого, решать вопрос, стоит ли прибегать к итерационному процессу или можно ограничиться найденным значением).
Выберем все же для вычисления приближенного корня уравнение (4.19), поскольку именно оно дает при Р=р2 точное значение
, и это важно.После возведения в квадрат, несложных преобразований и дополнительных обозначений
(4.21)
, 
,получаем квадратное уравнение:
В качестве решения выбирается его больший корень
(4.22)
.Таким образом, в рассматриваемой ситуации с двумя ударными волнами расчет приближенного значения давления Р состоит в реализации формул (4.18), (4.21) и (4.22). Кроме упомянутой выше возможности замены р1 на р2 , заслуживает внимания с точки зрения точности замена в формуле (4.22) величины р1 на «взвешенное» значение
. Тогда формула (4.22) принимает вид:
.Безитерационный алгоритм приближенного вычисления давления Р описан для всех ситуаций, которые могут возникнуть при распаде разрыва (если
).Как уже отмечалось, его следует рассматривать как один из примеров таких алгоритмов. В частности, еще один пример описывался в [11] в расчете на более сложную ситуацию, связанную с учетом пористости среды.
§ 5. Некоторые замечания о практической реализации
приближенного расчета.
5.1. После получения значения Р могут быть рассчитаны остальные величины, определяющие возникающую конфигурацию распада разрыва.
Как специально отмечалось в [1] на стр.12, не следует «соблазняться» расчетом этих величин по линеаризованным формулам, а следует руководствоваться адиабатой Гюгонио (если
) или адиабатой Пуассона (если 
) даже в случае «звукового приближения». Соответствующие формулы приведены в [5] на стр.112-113 и в [9] на стр.171-172. Для случая ударной волны мы не будем их повторять. Отметим лишь следующее важное обстоятельство. Вычисление плотностей по адиабате Гюгонио:
(k=1,2)гарантирует возрастание энтропии. По объему вычислений эти формулы не хуже, чем (1.3). Между тем эти последние в случае назначения (4.2) могут энтропию уменьшать, как следует из (4.5).
Что касается волны разрежения, то при реализации итерационного процесса мы располагали массовыми скоростями, полученными на последней итерации. Теперь их нет, и предпочтительнее вычисления осуществлять в таком порядке.
Прежде всего получаются значения плотностей в зонах 3 и 4:
(5.1)
, если (k=1,2)Затем – значения скоростей звука в зонах 3 и 4:
(5.2)
(k=1,2)Величина U определяется, исходя из того, что в случае точного решения должно было бы быть:
Например, так
(5.3)
Границы «веера характеристик», задающие волну разрежения, определяются условиями:
(5.4)
, 
, 
5.2. В [10] на стр.42 отмечено следующее. Хотя формулы «звукового» распада разрыва получаются для случая, когда параметры газа по обе стороны разрыва близки между собой, они приводят к устойчивому счету не только в этом случае. Несмотря на то, что вычисленные параметры P,U могут оказаться далекими от их истинных значений на соответствующих контактных поверхностях, «звуковое приближение» можно использовать гораздо чаще, чем можно было бы ожидать, исходя из предпосылок, положенных в основу его вывода.
Отсюда следует важный для практики вывод, что безразмерный параметр
в критерии (4.4) можно назначать не так уж малым, охватывая подавляющую часть ситуаций, возникающих при практических расчетах. Возможно, при расчете некоторых задач описанный «дорогой» алгоритм вообще не будет использоваться. 5.3. Для экономии объема вычислений при программной реализации описанного алгоритма полезно иметь в виду следующее. При получении давления Р после «отказа в звуковом приближении» (4.4), если
и 
, можно, не вычисляя координат «опорных» точек (4.9), сразу обратиться к случаю двух ударных волн в разделе 4.9. Если 
и 
, то сначала можно вычислить только F0 и лишь убедившись, что 
, вычислять F1, F2 и рассматривать оставшиеся случаи.Далее, целью расчета является получение «больших» величин P,U,R,E на единственном луче, отвечающем значению
в случае неподвижной сетки (или задаваемому значению 
, если сетка подвижна). Трудность состоит в том, что необходимо определять, в какой именно из секторов, образуемых конфигурацией распада разрыва, он попадает. Очевидно, что нет необходимости рассчитывать эту конфигурацию полностью. Например, если U<0, нет необходимости рассчитывать «левые» величины и, наоборот, если U>0 – «правые».