Свойство однородности времени можно раскрыть следующим образом: все моменты времени равноправны, следовательно, одно и то же физическое явление будет происходить абсолютно одинаково в любой момент времени - мяч будет падать на Землю такое же время, как и вчера, и сто лет назад и т.д. Более строго это означает, что законы классической механики не меняют своей формы при временных трансляциях, то есть изменении начала отсчета времени.
Следует отметить, свойства пространства-времени важны не сами по себе, а с точки зрения ковариантности физических законов (уравнений движения) по отношению к соответствующим преобразованиям, и что данные утверждения и составляют сущность принципа относительности Галилея.
Итак, рассмотрим варианты обсуждения взаимосвязи конкретных законов сохранения в механике с соответствующими свойствами симметрии пространства и времени.
1. Сохранение энергии и однородность времени. Начать можно с напоминания учащимся, что однородность времени означает равноправие всех моментов времени и, следовательно, неизменность определенных характеристик состояния физической системы. Очевидно, такое возможно только в том случае, внутренние силы (которые должны быть потенциальными) не зависят явно от времени. Но в таком случае не будет явно зависеть от времени и потенциальная энергия взаимосвязи частиц системы. Кроме того, поскольку полная работа внутренних сил замкнутой системы равна нулю, не может изменяться и полная кинетическая энергия частиц системы. То есть, можно прийти к тому, что из однородности времени (и из уравнений движения) следует закон сохранения полной механической энергии. В будущем это утверждение не трудно будет обобщить и на другие виды энергии.
2. Сохранение импульса и однородность пространства. Во введении можно сказать о том, что однородность пространства означает, что движение физической системы абсолютно не изменяется при переносе начала отсчета на некоторый вектор. В частности, не изменяться скорости частиц, а, следовательно, и кинетическая энергия системы. По теореме о кинетической энергии получим, что при таком переносе работа совершаться не будет, то есть будет равна нулю и сумма сил, действующих на систему. Отсюда по второму закону Ньютона получается, что полный импульс замкнутой системы сохраняется.
3. Совершенно аналогичные рассуждения можно привести для закона сохранения момента импульса. Изотропность пространства означает, что при повороте системы отсчета на некоторый угол движение системы не меняется, то есть что работа сил опять же равна нулю, откуда следует равенство нулю суммы моментов сил, действующих на систему, а отсюда, в свою очередь, сохранение момента импульса.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
И СИММЕТРИЯ ВРЕМЕНИ И ПРОСТРАНСТВА.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса среди всех других физических законов выделяются своей всеобщность. Они выполняются одинаково строго в классических явлениях, происходящих с макроскопическими телами, и в квантовых явлениях, в механике Ньютона и в релятивистской механике.
Сначала законы сохранения были установлены как результат обобщения огромного количества опытных фактов. Лишь значительно позднее пришло глубокое понимание этих законов и их взаимосвязи. Оказалось, что законы сохранения теснейшим образом связаны со свойствами симметрии природы. Здесь имеется в виду не симметрия физических тел (например, кристаллов), а свойство, выражающееся в неизменности вида физических законов при некоторых преобразованиях. Эти преобразования называют преобразованиями фундаментальной симметрии. Рассмотренные законы сохранения связаны с фундаментальными свойствами симметрии времени и пространства. Симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени проявляется в физической эквивалентности, равноценности разных ее моментов. Любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают совершенно одинаково. Данное свойство времени называют его однородностью. Благодаря однородности времени можно сравнивать результаты опытов, которые были проведены в прошлом или будут проведены в будущем.
Симметрия по отношению к сдвигу начала координат означает, что точки физического пространства эквивалентны. В пространстве нет таких точек, которые обладали бы какими-то особыми свойствами. Это свойство, называемое однородностью пространства, проявляется в том, что явление, которое произошло в данной области пространства, может (измениться) повториться без изменений в другом месте. Необходимо лишь, чтобы совокупность факторов, обусловливающих ход явления, осталось той же. Свойство однородности пространства позволяет сравнивать результаты одинаковых экспериментов, поставленных в разных лабораториях земного шара. Симметрию по отношению к повороту координатных осей, или свойство изотропности пространства, рассматривают как эквивалентность различных направлений в пространстве. В изотропном пространстве нет выделенных направлений, обладающих особыми свойствами. Установку, агрегат, лабораторию можно повернуть в любом направлении, при этом все процессы будут протекать так же, как и до поворота. Но повернуто должно быть все, что определяет течение данного процесса.
Следует заметить, что однородным и изотропным является пространство, свободное от сильных физических полей. В теории поля считают, что ответственным за появление сил, действующих на частицы, является поле, искажающее свойства пространства в той области, где оно существует. В сильных полях пространство не однородно и неизотропно. Установлено, что вблизи Солнца и звезд сильные поля тяготения вызывают искривление пространства. Однако, если поле, в котором движется частица или система частиц, является центрально-симметричным, по отношению к силовому центру этого поля пространство будет изотропным. Каждому преобразованию фундаментальной симметрии соответствует определенный закон сохранения.
ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.
При движении механической системы 2s величин gi и gi (i =1, 2, …,s) определяющих ее состояние, изменяются со временем. Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют придвижении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с s степенями свободы равно 2s – 1
Уравнения Лагранжа.
С математической точки зрения эти уравнения составляют систему s уравнений второго порядка для S неизвестных функций gi(t). Общее решение такой системы содержит 2S произвольных постоянных. Для их определения и тем самым полного определения движения механической системы необходимо знание начальных условий, характеризующих состояние системы в некоторый заданный момент времени, например, знание начальных значений всех координат и скоростей. Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитивной постоянной t0 во времени. Исключив t+ t0 из 2S функций
мы выразим 2s – 1 произвольных постоянных с1 , с2, … с 2s – 1 в виде функций от g и g, которые и будут интегралами движения. Однако далеко не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени – их однородностью и изотропностью. Все эти, как говорят, сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности – их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Именно свойство аддитивности отводит соответствующим величинам особенно важную механическую роль. Предположим, что два тела взаимодействуют в течение некоторого времени. Поскольку, как до, так и после взаимодействия каждый из аддитивных интегралов всей системы равен сумме их значений для обоих тел в отдельности, то законы сохранения этих величин сразу дают возможность сделать ряд заключений о состоянии тел после взаимодействия, если их состояния до взаимодействия известны.
Однородность времени, то есть симметрия по отношению к выбору начала отсчета времени, приводит к закону сохранения энергии. Этот закон сохранения выполняется для систем, находящихся в неизменных во времени внешних условиях. Стационарность условий обеспечивается тем, что системы должны быть замкнутыми и адиабатически изолированными, а действие сил вызывается только потенциальными полями. Выбор начала отсчета несуществен.
В силу однородности времени лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа во времени может быть записана следующим образом:
(Если бы L зависела явно от времени, к правой части равенства добавился бы член )
Заменяя производные согласно уравнениям Лагранжа на , получим:
Отсюда видно, что величина
остается неизменной при движении замкнутой системы, то есть является одним из ее интегралов движения.
Эта величина называется энергией системы. Аддитивность энергии непосредственно следует из аддитивности функции Лагранжа, через которую она выражается линейным образом.
ИМПУЛЬС.
Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства. В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок ε и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной. Параллельный перенос означает преобразование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же отрезок, то есть их радиус-вектор . Изменение функции L в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц есть