где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности ε требование =0 эквивалентно требованию
В силу уравнений Лагранжа получаем
Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой механической системе векторная величина остается неизменной при движении.
Вектор Р называется импульсом системы. Дифференцируя функцию Лагранжа
найдем, что импульс следующим образом выражается через скорости точек . Аддитивность импульса очевидна.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА.
Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства. Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась. Введем вектор бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению ).
Найдем, чему равно при таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы. Линейное приращение конца радиус-вектора связано с углом отношением:
Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через r и . Поэтому ясно, что .
При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат .
Подставляя эти выражения в условие неизменности функции Лагранжа при повороте
Заменяем производные
Или, производя циклическую перестановку множителей и выносе за знак суммы
Ввиду произвольности отсюда следует
Т.е. приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина
Называется моментом импульса.
Аддитивность этой величины, как и у импульса, она не зависит от наличия ли отсутствия взаимодействия между частицами. Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения.
ТЕОРЕМА НЕТЕР И СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ СО СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ.
Тот факт, что с помощью свойств симметрии пространства и времени выводятся законы сохранения и соответствующие сохраняющиеся величины, привел к широко распространившемуся убеждению о возникновении этих законов сохранения и этих физических величин из свойств симметрии пространства и времени. Таким образом, возникает ряд вопросов:
1. Являются ли законы сохранения (в частности, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса) следствиями (исключительно) свойств симметрии пространства и времени?
2. Можно ли получить в теории законы сохранения, минуя уравнения движения (не зная их)?
3. Что является определяющим (первичным): уравнения движения, законы сохранения, свойства симметрии пространства и времени? Что является «исходным» для построения физической теории?
Пожалуй, самым простым является ответ на первый вопрос: нет, не является. Согласно теореме Нетер, законы сохранения связаны со свойствами симметрии пространства и времени. Но существенной частью этой теоремы является известная функция Лагранжа. Таким образом, правильно говорить о связи законов сохранения со свойствами пространства и времени, а отнюдь не о том, что законы сохранения следуют исключительно из этих свойств или что сохраняющиеся величины «возникают» из соответствующих свойств симметрии в самой объективной действительности.
По поводу второго из трех поставленных вопросов можно заметить, что, имея в своем распоряжении функционал действия, мы сразу же получаем уравнения движения (уравнения Эйлера – Лагранжа). Конечно, приемом указанным Эмми Нетер, можно независимо найти интегралы движения, но это не отменяет того обстоятельства, что уравнения движения при этом фактически известны. Таким образом, ответ на второй вопрос тоже отрицателен.
Однако самым важным и вместе с тем самым интересным – как с философской, так и физической точки зрения, - является ответ на третий вопрос.
Исторические примеры, которые обычно приводят, свидетельствуют о том, что теория может строиться на пути от свойств симметрии к законам сохранения, и о том, что теория может строиться на пути от законов сохранения к свойствам симметрии. На первом пути мы сначала обнаруживаем свойства симметрии, затем открываем соответствующие уравнения движения и законы сохранения и лишь много времени спустя находим существующую между ними связь, либо, зная свойства симметрии и то, как они связаны с уравнениями движения (уравнениями поля и законами сохранения), выводим теоретически эти последние (как это было в квантовой электродинамике).
На втором пути мы вначале экспериментально обнаруживаем существование некоторых сохраняющихся величин, которым затем с помощью теоремы Нетер ставим в соответствие инвариантность уравнений поля (или уравнений движения) относительно некоторого преобразования, либо, зная уравнения поля (или уравнения движения) и свойственные этому полю законы сохранения, мы открываем группу преобразований, по отношению к которой уравнения поля (или уравнения движения) имеют инвариантную форму. Вследствие того, что законы сохранения и свойства симметрии связаны между собой, они могут быть друг из друга выведены и поэтому как первый, так и второй путь построения теории правомерны. Но ни тот, ни другой пути построения теории не дают ответа на вопрос о том, что является определяющим в объективной действительности – свойства симметрии или законы сохранения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В статье «Памяти Эмми Нетер» Альберт Эйнштейн писал в 1935 году: «Эмми Нетер входила в число самых значительных и самых творческих гениев математики». П.С. Александров называет ее «великой алгебраисткой» и отмечает, что «она создала совершенно новое направление в алгебре, названное в последствии общей или абстрактной алгеброй. Ее идеи в последние десятилетия оказывали все возрастающее влияние на различные части современной математики». Но дело не только в этом. Ее работы оказали глубокое влияние на фундаментальные представления современного естествознания и до сих пор широко обсуждаются не только математиками, но и за пределами математики – физиками и философами.
Доказательство теоремы Нетер относится к 1918 году. И хотя она занимает весьма скромное место в математическом наследии Эмми Нетер, но представляется чрезвычайно важной как с физической, так и с философской точки зрения.
Эвристическое значение теоремы Нетер обусловлено тем, что с ее помощью по свойствам движения некоторой физической системы, по характеру взаимодействия физических объектов открывается возможность судить о свойствах симметрии пространства и времени; обратно, по свойствам симметрии пространства и времени можно судить об особенностях движения физических систем и их взаимодействий.
Теорема Нетер опирается на один из возможных способов нахождения уравнений движения физической системы. Конечная цель – это определение движения (т.е. изменения во времени) заданной физической системы. Для этого необходимо найти решения уравнений движения. Решение уравнений – значительно облегчается, если удается обнаружить некоторые комбинации искомых величин, не меняющиеся с течением времени – первые интегралы уравнений движения. Некоторые из них имеют непосредственный физический смысл. Особенно важны интегралы энергии, импульса и момента импульса. Законы сохранения той или иной физической величины дают, по существу, некоторые правила запрета – движение может осуществляться так, чтобы данная величина не меняла своего значения. Но, как и откуда находятся теоретически законы сохранения?
Конечно, и до того, как была доказана теорема Нетер, существовали способы нахождения интегралов движения, т.е. законов сохранения. Их выводили обычно из уравнений движения. И этот способ вовсе не утратил своего значения. Однако Э.Нетер предложила иной способ нахождения первых интегралов, который допускает интересную физическую интерпретацию. В основе этого способа – преобразование пространственных и временных координат. Если при определенном преобразовании координат некоторой замкнутой системы функционал действия не меняется, то этому преобразованию соответствует определенный первый интеграл или закон сохранения.
Но преобразование пространственных и временных координат, не изменяющие функционала действия, указывают на симметрию пространства и времени. Как показала Эмми Нетер, каждому из этих преобразований соответствует определенный закон сохранения.
Теорема Нетер, позволившая вскрыть глубокие связи и отношения между различными сторонами объективной действительности, является великолепной иллюстрацией той эвристической роли, которую фактически играет математика в познании объективного мира.