Дадим теперь строгое определение случайной величины, исходя из теоретико-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей. Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий П, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число Х(w), т.е. X = X(w) [2, с.63]. Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. Можно рассмотреть случайное событие – появление герба и случайную величину X — число появлений герба.

Основными характеристиками случайной величины являются характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение) [6, с.65].

Математическое ожидание вычисляется по формуле М[X]=Σxipi и характеризует среднее значение случайной величины.

Мода (М₀) – это такое значение случайной величины, для которого соответствующее значение вероятности максимально.

Медианой дискретной случайной величины (Ме) называется такое значение х_k в ряду возможных значений случайной величины, которые она принимает с определенными значениями вероятностей, что приблизительно равновероятно закончится ли процесс до х_k или продолжится после него.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D[Х]=М(Х-М[Х])² = М[Х²]-М²[Х].

Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называют положительное значение квадратного корня из дисперсии: σ[Х]=

Задачи, связанные с понятиями случайного события и случайной величины, эффективно рассматривать через графическую иллюстрацию с применением вероятностного графа, на ребрах которого надписаны соответствующие значения вероятностей [2].

Пусть вероятность выигрыша одной игры для первого игрока равна 0,3, а вероятность выигрыша для второго игрока соответ-ственно равна 0,7. Как в таком случае разделить ставку?

Ответ: пропорционально вероятности выигрыша.

Х	х1	х2	……	хn	….
Р	р1	р2	……	рn	..

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий, в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением). Про случайную величину говорят, что «она подчиняется данному закону распределения» – соотношению, устанавливающему связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается в виде таблицы, где в верхней строке записаны значения случайной величины, а в нижней – под каждым хi – соответствующие вероятности р_i

Закон распределения может иметь геометрическую иллюстрацию в виде графа распределения [6].

3. Методические замечания: из опыта работы

Еще раз обозначим обязательный минимум содержания соответствующего раздела, записанный в новых стандартах школьного математического образования:

Основная школа: Понятия и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Старшая школа: Элементарные и сложные события. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества.

Знакомство с вероятностно-статистическим материалом целесообразно начинать с трех важнейших понятий, предваряющих определение вероятности: случайный опыт, случайное событие, элементарный исход. Со случайными событиями знакомство можно начинать уже в 5 классе, так как в этом возрасте закладываются основы вероятностной интуиции, позволяющие впоследствии усвоить формальные методы вычисления вероятностей. В этот период ученики должны научиться выделять невозможные и достоверные события.

В 6-7 классах появляется понятие случайного эксперимента, в контексте которого рассматривается любое случайное событие, формируется представление о его возможных исходах. Особое внимание следует уделить обсуждению «элементарности» исходов, поскольку непонимание этого признака повлечет дальше неизбежные ошибки при вычислении вероятностей. Принципиальным моментом этого раздела является переход от словесного описания событий и экспериментов к теоретико-множественному. На этом этапе ученики должны уметь:

· перечислять все возможные (в случае их большого количества – некоторые) исходы опыта, используя для этого их естественные обозначения;

· строить по словесному описанию события соответсвующее множество благоприятных исходов, используя при этом графы и «деревья» исходов;

· при рассмотрении примеров случайных опытов полезно рассматривать различные способы кодирования элементарных исходов, обсуждать, какие из них наиболее удобны и экономичны

классический и геометрический подход к определению вероятности должны рассматриваться как частные случаи вероятностных моделей, в которых это число удается вычислить (предсказать) без проведения опыта. Вероятность появляется как универсальная количественная мера возможности осуществления случайных событий, а все частные формулы для ее подсчета служат лишь для вычисления этой меры в определенном круге ситуаций.

При изучении этого раздела полезными оказываются уроки с применением мультимедийных средств, электронные лаборатории, позволяющие в считанные секунды смоделировать тысячи случайных экспериментов, наблюдая при этом за динамикой изменения частот и их приближением к вероятностям случайных исходов и событий.

Открыв формулу Лапласа Р(А) = m/n, ученики включаются в процесс не только экспериментального поиска ответа на вопрос о вероятности какого-либо события, но и приступают к вычислению. Важно сформировать у учеников понимание условия применимости формулы Лапласа: опыт должен иметь конечное число равновозможных исходов.

В результате нескольких лет работы по освоению практики решения задач по теории вероятностей составлены алгоритмы классического (комбинаторного ) способа и способа с помощью вероятностных графов:

Классический способ	Способ решения с помощью вероятностного графа
Описание возможных исходов опыта, их кодирование и перечисление (полное или частичное)	Формулировка события и его благоприятного исхода
Обоснование равновозможности перечисленных исходов	Изображение графа – модели конкретной задачи.
Подсчет общего числа исходов опыта n: прямой подсчет, с помощью комбинаторных формул	Выбор благоприятных исходов
Описание благоприятных исходов для события А, их перечисление	Заполнение значений вероятностей над каждым ребром графа
Подсчет благоприятных исходов	Вычисление общей вероятности
Вычисление вероятности по формуле Лапласа

Решение задач обоими способами представлено в следующей главе работы.

Получив ответ, необходимо обсудить с учениками его реальный смысл, привести частотную интерпретацию. Полезно выяснить, совпадает ли полученная величина с интуитивным представлением учеников о вероятности, удовлетворяет ли основным свойствам.

Для тематического и периодического контроля (особенно, когда широко применяется тестирование) в последние годы все шире применяется система интерактивного голосования и опроса Hitachi Verdict и система Votum. Преимущества электронного тестирования перед традиционными формами очевидны: не нужно тратить время на проверку контрольных – результаты обрабатываются автоматически, накапливается первичная статистика, что освобождает преподавателя от рутинной работы. Результаты контрольной можно увидеть сразу после окончания опроса, а детализированные отчеты позволяют выявить не только уровень знаний каждого ученика, но и моментально оценить, какие темы вызывают наибольшую сложность. Особенно это актуально при столь незначительном учебном времени, которое отводится на изучение Теории вероятностей. Для контроля разработаны тематические тесты оперативного контроля (Приложение 3) и итогового контроля, различные кроссворды (Приложение 1), и собственно контрольные (Приложение 4) и зачетные работы

Среди приложений к работе можно найти разработки урока, элективного занятия, технологические карты темы и отдельных уроков (Приложение 5-9)

4. Вероятностный граф – наглядное средство теории вероятностей

Отличительной особенностью авторского подхода к ведению курса теории вероятностей является изложение предмета с систематическим использованием графов, что делает изучаемый материал более наглядным и доступным.