Решение:

Очередность вынимания той или иной цифры и , соответственно, составление того или иного числа несложно отразить на графе, рассуждая логически: первой цифрой может оказаться и «1» и «2», но каждая со своей долей вероятности. Дальнейшие сценарии определяются аналогично и фиксируются графом. Определив вероятности, произведя необходимые вычисления, получаем ответ: различных чисел может быть только три и вероятность каждого соответственно равна:

P(112)=

; P(121)=

; P(211)=

7. В ящике находятся 2 белых и 2 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какие комбинации могут получиться и найти вероятность каждой из них. [6, с.48]

Решение: P(бб) =

; P(бч) =

; P(чб) =

; P(чч) =

Применение полученных знаний и первичных навыков может быть осуществлено при решении следующей задачи в различных (соответствующих) разделах математики.

8. Из карточек с числами 1,2,3,4,5 выбирают три. Найдите вероятность следующих событий:

1). Существует прямоугольный треугольник с такими сторонами;

2). Существует произвольный треугольник с такими сторонами;

3). Произведение этих чисел оканчивается на ноль;

4). Сумма этих чисел меньше 10.

Решение. Для всех данных (и вообще возможных) задач достаточно построить ОДИН граф, далее провести анализ выборки по условию конкретной задачи. Подсчет возможных комбинаций трех чисел из пяти можно провести и комбинаторным способом

. Построение данного графа, в итоге которого будет 60 комбинаций – дело трудоемкое, но для решения нескольких задач на одном графе оправдывает подготовительные задачи.

1). Р(А) = 6/60; 2). Р(А) = 17/60; 3). Р(А) = 27/60; 4). Р(А) = 34/60

Мои ученики предложили использовать для этого электронные таблицы Excel.

Данную задачу можно несколько усложнить с точки зрения теории вероятностей, если какую-нибудь карточку предложить дважды.

Итак, достаточно оптимально происходит решение задач на подсчет вероятности случайных событий с помощью вероятностного графа, что также позволяет не только решать данные задачи, но и моделировать новые, изменяя условие или вопрос.

С помощью графов успешно решаются задачи и других разделов теории вероятностей. Напомним, что условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется отношение Р (А*В) / Р (В)

9. Слово «МАТЕМАТИКА» разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре буквы. Какова вероятность получения слова «МАМА»?

Решение. Пусть событие А={получить слово «МАМА»}. Возьмем в дереве испытаний ветвь, соответствующую событию А, и найдем ее вес:

При изучении темы «Случайные величины» вводятся основные характеристики случайной величины – математическое ожидание, мода, медиана, вычисление которых с помощью графов также более наглядно и структурировано.

10. Какую игру следует выбрать: с призом в 8 рублей за выпадение, по крайней мере, одного герба (А), или с призом в 16 рублей за выпадение ровно двух гербов (В) при трех подбрасываниях монет. [1, с.68]

Решение:

Р(А) = 7*1/2³=7/8 M[A] = 8*7/8=7 P(B) = 3*1/2³=3/8 M[B] = 16*3/8=6

Вывод: выгоднее выбрать игру с призом в 8 рублей

Большие возможности для анализа условия задачи и понимания сути решения дает применение графов при решении задач, связанных с выработкой стратегии игры. Несложные вычисления позволяют определить наиболее выигрышную тактику игрока.

Задача Монти – Холла [1, с.39]. (американская Теле игра «Заключим пари»)

За одной из трех дверей находится приз – автомобиль, за двумя другими – пустая комната. Играющему предлагается открыть одну из трех дверей.

Игра проходит в три этапа:

1. Игроку предлагают выбрать дверь

2. Ведущий открывает одну из двух оставшихся. (он знает где приз и никогда не откроет эту дверь)

3. Игроку предоставляется выбор – оставить свой выбор прежним или изменить его

Р(А)=

Р(Б) =

Оптимальность образовательного процесса при решении подобных задач достигается благодаря применению интерактивной доски. Однажды созданный и разобранный вероятностный граф в компьютерной программе может быть многократно проанализирован в соответствии с вопросом задачи, и сделанная выборка нужных ситуаций позволяет сэкономить время на уроке, посвятив его разбору множества вопросов, а не вырисовыванию многоструктурного графа.

5. Модуль «Энтропия и информация» - метапредметность школьного курса Теория вероятностей

Как и многие изучаемые в школьном курсе математики темы предполагают возможность изучения дополнительных разделов через элективные курсы, факультативы, научно-исследовательскую деятельность, так и «Теория вероятностей и математическая статистика» может иметь продолжение и возможность интеграции с обязательными темами изучения в средней школе. Знакомство учащихся с нетрадиционными вопросами теории вероятностей позволяет увидеть возможности продолжения понятия вероятности и их применения для решения школьных логических задач, рассмотреть практическое применение некоторых вопросов программного материала. Одним из таких вопросов является решение логических задач с помощью понятия энтропии.

Изучая теорию вероятностей, статистику важно показать ученикам применимость получаемых знаний. Построенная таким образом система позволяет это сделать через метапредметные модули, реализуемые на уроках, в проектной деятельности.

В основной школе учащиеся знакомятся с понятием графа (дерева возможных вариантов), в рамках элективных курсов могут рассматривать (рассматривают) логические задачи на выделение элемента множества (задачи на взвешивание, угадывание задуманного, о лжецах) и их решение с помощью графов и логических рассуждений. Но при этом остается открытым вопрос о минимально возможном числе взвешиваний или вопросов. Учащиеся не владеют математическими знаниями для решения подобных задач с целью получения однозначно неопровержимого ответа. Конечно, при построении графов развивается логическое мышление, внимание, формируется умение выдвигать гипотезы, но поиск возможных числовых ответов порой не может убедить, что это «наименьшее».

Введение в средней школе понятия логарифма, и его свойств, интеграция данной темы с вопросами теории вероятностей, рассмотренными в основной школе, позволяет не только дать однозначный ответ на вопрос задачи о наименьшем количестве взвешиваний (вопросов), но и продемонстрировать практическое приложение понятия логарифма.

Все это раскрывает тема «Энтропия и информация» (Приложение 10), которая не является общепринятым материалом курса «Теория вероятностей», но способствует установить аналогии новых результатов с ранее рассматриваемыми. Удачно занятия по данной теме проводить параллельно с изучением темы «Логарифмы», но возможно более позднее обращение к теме «Энтропия и информация» чем изучение логарифмов. В таком случае – «Энтропия и информация» - модуль (14 часов) целостного метапредметного элективного предмета «В мире информации», рассчитанного на 34 часа. Первый подход – практическое применение изучаемого, второй подход и практическое применение изученного и его повторение. Возможно, при достаточно высоком уровне подготовки обучающихся данный курс (14 часов) предложить уже в 9 классе, объяснив понятие

логарифма и предоставив информацию по его простейшим свойствам. В моей практике осуществлены все три подхода.

Цели курса «Энтропия и информация»

· Развитие логического мышления и формирование базы математических знаний;

· Практическое применение изучаемого (изученного) программного материала средней школы;

· Построение простейших вероятностных моделей реальных процессов и явлений, учитывающих влияние случая;

· Создание определенного алгоритма для оценки предсказуемости случая;

· Решение логических задач с применением понятия энтропии;

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

· Расширить представления учащихся о дискретной математике, ее возможностях при вполне жизненных ситуациях;

· Показать учащимся возможности математики для измерения и сравнении неопределенностей различных ситуаций;

· Ввести новые математические понятия энтропии и количества информации;

· Установить зависимость степени неопределенности от числа равновероятных исходов;

· Определить связь количества информации с мерой неопределенностей;

· Показать способы использования ориентированного графа и кодового дерева для построения рассуждений и выводов;

· Интегрировать алгебраический и графический методы для решения задач о лжецах, на взвешивание и др.;