· Предложить комплекс логических задач, решаемых методом подсчета информации.
В результате освоения данного курса ученик должен научиться:
· Различать количественные характеристики случайного события: вероятность и степень неопределенности (энтропию);
· Выполнять простейшие вычисления и преобразования, связанные с логарифмом по основанию 2;
· Уметь находить степень неопределенности через известную (найденную) вероятность случайного события;
· Сравнивать два события по их неопределенности;
· Находить количество информации об опыте для оптимизации его результатов;
· Применять полученные умения и навыки для решения логических задач алгебраическим и графическим методами.
Актуальность программы определяется необходимостью осознания учащимися связи теории вероятностей и алгебры с практикой жизни. Курс предполагает овладение широким понятийным аппаратом, знакомство с различными логическими структурами определений, развитие умений подводить объект под понятие, применять определения в процессе рассуждений. Теоретический и практический материал курса в силу своей компактности, информативности предоставляет возможности школьникам быстрее и с меньшими трудностями проследить процесс обобщения понятий. Во многом этому способствует авторский мультимедийный продукт. (Приложение 11)
Усвоению знаний должно способствовать развитие умения анализировать, выявлять закономерности, обобщать, логически излагать свои мысли, ставить и разрешать проблемы. Курс должен помочь школьникам овладеть способами исследовательской деятельности, стать фактором формирования творческого мышления. Как методическое пособие можно использовать тематический буклет педагога. (Приложение 12)
Общие принципы отбора содержания материала:
· актуальность,
· наглядность,
· доступность,
· обеспечение мотивации,
· целостность,
Системность содержания достигается логикой развертывания учебного материала таким образом, что изучение всех последующих тем обеспечивается предыдущими, а между частными и общими знаниями прослеживаются связи.
Организация учебной работы предусматривает:
· проблемное изложение и изучение материала (выделение ключевых вопросов, проблемный, эвристический характер их рассмотрения),
· выполнение самостоятельной поисковой, творческой работы учащимися индивидуально, в группах, микрогруппах, коллективе;
· реализацию принципа совместного целеполагания: «цель учителя – цель ученика».
Учебно-тематический план: Каждое занятие по 2 часа.
1. Случайные события. Мера их неопределенности. Формула Хартли.
2. Энтропия по Шеннону. Свойства энтропии.
3. Условная энтропия. Решение задач на условную энтропию.
4. Количество информации. Решение задач.
5. Решение логических задач на взвешивание через энтропию и количество информации (Приложение 13)
6. Решение логических задач о лжецах через энтропию и количество информации.
7. Защита творческих проектов.
Итого: 14 часов (можно увеличить количество часов на решение логических задач)
Основным принципом учебно – исследовательской работы является учет образовательных потребностей ученика, выходящих за рамки того или иного предмета, овладение методами самостоятельного научного исследования. Под исследовательской деятельностью учащихся сегодня понимается такая форма организации учебно-воспитательной работы, которая связана с решением учащимися творческой, исследовательской задачи с заранее неизвестным для них, в первую очередь, результатом в различных областях науки, техники, искусства и предполагающая наличие основных этапов характерных для научного исследования:
· Постановку проблемы,
· Ознакомление с литературой по данной проблематике,
· Овладение методикой исследования,
· Сбор собственного материала, его анализ и обобщение,
· Выводы.
Исследовательская работа предполагает индивидуальный темп и способ продвижения, обеспечивая при этом достаточно высокий уровень знания. При подборе темы полезно обратить внимание на смежные области знания: иногда на стыке двух научных дисциплин, например экономики и математики, можно найти такие темы, которые как бы забыты и той и другой отраслями науки, но имеют определенные исследовательские перспективы и интересны для ребят.
Система действий учителя и учащихся при выборе и утверждении тем предполагаемых исследований может быть следующей:
| Учитель отбирает возможные темы | Ученики самостоятельно подбирают темы |
| Учитель предлагает учащимся возможные темы | Учащиеся обсуждают и принимают решение |
| Учитель участвует в обсуждении тем, предложенных учащимися | Ученики предлагают для обсуждения самостоятельно подобранные темы |
| Учитель организует совместное утверждение тем | Ученики принимают решение. |
Раздел математики Теория вероятностей также предполагает включение обучающихся в научно-исследовательскую деятельность, реализацию проектов, подготовку тематических сообщений.
Информационную ценность имеет тематическое сообщение учеников «Из истории теории вероятностей» (Приложение 14), и сообщение учителя «Теория вероятностей», сопровождающаяся презентацией (Приложение 7).
Метапредметный характер имеет проект обучающихся «Информация и логические задачи» (Приложение 15), в рамках которого рассматривается методика решения задач на взвешивание, на угадывание (Приложение 10 - 11). Демонстрируется метод половинного деления, дающий наиболее оптимальный способ решения.
Среди всех проектов моих учеников самым ярким, результативным, практико-ориентированным является проект «Теория вероятностей и жизнь» (запуск проекта - Приложение 16), направленный не только на метапредметность изучаемой науки, но и на демонстрацию роли теории вероятностей для формирования устойчивого отношения к азартным играм, лежащим в основе появления науки, и являющиеся определенным пороком мира взрослых. Результатом данного проекта стали тематические буклеты (Приложение 17), презентации (Приложение 18, 19), исследовательские работы (Приложение 20)
Проект рассчитан на учащихся 9-11 классов, является краткосрочным, информационно-исследовательским, основан на изучении раздела математики Теория вероятностей. В ходе реализации проекта, который может быть запущен еще до изучения данной темы в рамках воспитательного мероприятия через презентацию учителя «Дети в окружении пороков взрослых», учащиеся не только познакомятся с основными понятиями и формулами теории вероятностей, но и увидят, как теория вероятностей помогает предостеречь от воздействия азартных игр на незадачливых игроманов. Именно теория вероятностей помогает определить размер начальной ставки в игре, чтобы она стала безобидной или благоприятной, поможет распределить сделанные ставки, если игра завершена досрочно, и, вообще, подскажет, стоит ли играть, если его величество Случаем в организованных заведениях для игроманов руководит его величество Человек (знающий основы теории вероятностей и рассчитавший свой успех). Кроме воспитательного значения, проект имеет образовательный потенциал, так как демонстрирует прикладное значение изучаемого раздела математики.
У. Уивер пишет: «Теория вероятностей и статистика — две важные области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большой степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики все еще не стал общепринятым среди деятелей образования» [9, с. 376-377].
Изучая случайные события и явления, осуществляя поиск закономерностей не только в математике и других науках, актуальными становятся вопросы о степени случайности, о возможностях, которые могут снизить степень случайности события, переводя его в разряд реальности бытия. Именно, исходя из этого, представленный авторский опыт введения теории вероятности становится актуальным, предполагающим дальнейшее совершенство.
9. Шадриков В.Д. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб.пособие.М.:Гардарики, 2002. – 383 с.
10. http://www.azartgames.ru/public/gambler_test.shtml
| УМК | класс | Программные требования к содержанию изучаемого материала |
| МАТЕМАТИКА | ||
| Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд | ||
| 5-6 класс | отсутствуют | |
| Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин | ||
| 5 класс | В теме Натуральные числа (12 часов) начинается изучение новой содержательной линии «Анализ данных». Здесь предлагается естественный и доступный детям этого возраста метод решения комбинаторных задач, заключающийся в непосредственном переборе возможных вариантов (комбинаций). Он носит общий характер, и применим в тех случаях, когда число вариантов невелико. В качестве специального приема перебора вариантов рассматривается построение дерева. | |
| 6 класс | КОМБИНАТОРИКА (6 часов). Решение комбинаторных задач. Применение правила умножения в комбинаторике. Основная цель: развить умения решать комбинаторные задачи методом полного перебора вариантов, познакомить с приемом решения комбинаторных задач умножением. Как и в V классе, продолжается решение задач путем систематического перебора возможных вариантов. Однако теперь учащиеся имеют дело с большим количеством элементов и в более сложных ситуациях. Здесь они знакомятся с кодированием как способом представления информации, упрощения записей. Продвижением вперед является знакомство на содержательном уровне с комбинаторным правилом умножения. При этом целесообразно использовать следующий подход. Учащимся предлагаются задачи с большим количеством вариантов решений, когда построение дерева оказывается технически трудоемким. В то же время, если дерево симметричное, его легко представить по отдельному фрагменту, а значит легко с помощью умножения подсчитать число возможных вариантов. Термин «правило умножения» здесь не вводится, и какое-либо формальное правило действий не предполагается. Учащиеся остаются на уровне содержательного подхода, зрительной основой действий по-прежнему служит дерево, изображенное на бумаге или представленное мысленно. Дляставленное мысленно.ержательного подхода, зрительной основой действий по-прежнему служит дерево, изображенное на бумаге или пр предупреждения формирования неправильного стереотипа в систему задач включены задания, в которых ответ нельзя получить умножением. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ (9 часов). Эксперименты со случайными исходами. Частота и вероятность случайного события. Основная цель: научить оценивать вероятность случайного события на основе определения частоты события в ходе эксперимента. Особенностью принятой в учебнике методики является статистический подход к понятию вероятности: вероятность случайного события оценивается по его частоте при проведении достаточно большой серии экспериментов. Такой подход требует реального проведения опытов в ходе учебного процесса. Так как для стабилизации частоты необходимо большое число экспериментов, рекомендуется такая форма уроков, как работа в малых группах. Каждый ученик проводит свой эксперимент, затем объединяются результаты членов каждой группы, объединяются результаты всех групп. Для удобства фиксирования результатов экспериментов в рабочей тетради помещены специальные таблицы. Помимо способа количественной оценки вероятности дается представление о возможности определения вероятности случайного события без проведения экспериментов (в случае геометрического подхода, когда речь идет о равновозможных событиях). Основной итог темы носит, прежде всего, содержательный характер: это разрушение типичных интуитивных вероятностных предрассудков и формирование правильных представлений о вероятности в разнообразных житейских ситуациях. Кроме того, учащиеся должны решать несложные задачи на нахождение вероятности в случае, когда возможные исходы равновероятны. | |
| Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. | ||
| 5-6 класс | отсутствуют | |
| Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. | ||
| 5-6 класс | отсутствуют | |
| Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. | ||
| 5-6 класс | отсутствуют | |
| Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. (продолжение учебников Л.Г. Петерсон для начальной школы) | ||
| 5 класс | В теме МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК (30 часов) рассматриваются вопросы метода перебора, но не формируется понятие вероятности. | |
| АЛГЕБРА | ||
| Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. | ||
| Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. | ||
| Муравин К.С., Муравин Г.К., Дорофеев Г.В. | ||
| Мордкович А.Г. | ||
| Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. | ||
| 7-9 | отсутствуют | |
| Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. | ||
| 7 класс | «ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ» (6 часов). Завершающая тема 7 класса. Частота случайного события. Оценка вероятности случайного события по частоте. Вероятностная шкала. Основная цель: показать возможность оценивания вероятности случайного события по его частоте. Особенностью принятой в учебнике методики является статистический подход к понятию вероятности: вероятность случайного события оценивается по его частоте при проведении достаточно большой серии экспериментов. Такой подход требует реального проведения опытов в ходе учебного процесса. Так как для стабилизации частоты необходимо большое число экспериментов, рекомендуется такая форма уроков, как работа в малых группах. Каждый ученик проводит свой эксперимент, затем объединяются результаты членов каждой группы, объединяются результаты всех групп[3]. Процесс стабилизации частоты полезно иллюстрировать с помощью графиков, при этом разным группам учащихся можно поручить построение различных графиков. Дается количественная оценка вероятности случайного события, которая получает наглядное истолкование с помощью вероятностной шкалы. | |
| 8 класс | «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАСТИКА» (5 часов). Завершающая тема 8 класса. Статистические характеристики ряда данных: мода, медиана, среднее арифметическое, размах. Таблица частот. Вероятность равновозможных событий. Классическая формула вычисления вероятности события и условия ее применения. Геометрические вероятности. Основная цель: сформировать представление о возможностях описания и обработки данных с помощью различных средних, познакомить учащихся с вычислениями вероятности случайного события с помощью классической формулы вероятности из геометрических соображений. При изучении темы учащиеся знакомятся с ситуациями, требующими вычисления средних для адекватного описания ряда величин. При вычислении среднего арифметического используется таблица частот. Основное внимание следует уделить целесообразности использования моды, медианы или среднего арифметического в зависимости от ситуации и умению вычислять соответствующие характеристики. В предыдущих классах уже был рассмотрен статистический подход к понятию вероятности. На его основе теперь вводится гипотеза о равновероятности, позволяющая в ситуации с равновозможными исходами применять классическую формулу вычисления вероятности события. Кроме того рассматривается геометрический подход к понятию вероятности, позволяющий в некоторых ситуациях с бесконечным количеством исходов вычислять вероятность наступления события как отношение площадей фигур. Наконец, при изучении и классического, и геометрического подхода следует особое внимание уделить условиям, при которых применимы соответствующие формулы. | |
| 9 класс | «СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» (6 часов) Завершающая тема 9 класса. Генеральная совокупность и выборка. Ранжирование данных. Полигон частот. Интервальный ряд. Гистограмма. Выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Основная цель: в данной главе представлен завершающий фрагмент вероятностно-статистической линии курса алгебры основной школы. В ней рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. В ходе описания исследований вводятся некоторые новые статистические понятия, отражающие специфику данного исследования. Они позволяют понять как центральные тенденции ряда данных, так и меру вариации. Заметим, что включение данного материала направлено, прежде всего, на формирование умения понимать и интерпретировать статистические результаты, представляемые в СМИ. Предполагается не столько формальное заучивание новых терминов, сколько первоначальное знакомство с понятийным аппаратом этой области знаний, необходимой каждому современному человеку. | |
| АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА | ||
| Колгоморов А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П./ Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В./ Башмаков М.И. | ||
| 10-11 | отсутствуют | |
| УГЛУБЛЕННОЕ ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ | ||
| Содержание обучения: включает полностью содержание курса математики соответствующих классов общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям. Включены также самостоятельные разделы: комплексные числа, элементы комбинаторики, элементы теории вероятностей и статистики, которые в настоящее время в школе не изучаются, однако являются важными содержательными компонентами системы непрерывного математического образования. В квадратных скобках указаны дополнительные вопросы и темы, которые изучаются по усмотрению учителя. 8-9 класс: Множества и элементы комбинаторики. [Комбинаторный принцип умножения. Число элементов прямого произведения двух множеств. Число подмножеств конечного множества. Число k – элементных подмножеств конечного множества из n элементов (число сочетаний). Число перестановок. Понятие вероятности события. Подсчет вероятностей простейших событий.] 10-11 класс: Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Метод математической индукции. Комбинаторные принципы сложения и умножения. Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания и перестановки (без повторения и с повторениями). [Бином Ньютона. Принцип Дирихле]. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Случайные события. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Правила умножения вероятностей. Независимые события. Формула Бернулли. Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия. Понятие о законе больших чисел. Понятие о нормальном законе распределения. Генеральная совокупность и выборка. Параметры генеральной совокупности и их оценка по выборке. Оценка параметров. Понятие об уровнях значимости и достоверности. Оценка вероятности события по частоте. Понятие о проверке статистических гипотез. | ||
| Виленкин Н.Я., Ивашев – Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. | ||
| ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ (12 часов) Метод математической индукции. Комбинаторные принципы сложения и умножения. Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания и перестановки (без повторения и с повторениями). [Бином Ньютона. Принцип Дирихле]. | ||
| ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ (20 часов) Случайные события. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Правила умножения вероятностей. Независимые события. Формула Бернулли. Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия. Понятие о законе больших чисел. Понятие о нормальном законе распределения. Генеральная совокупность и выборка. Параметры генеральной совокупности и их оценка по выборке. Оценка параметров. Понятие об уровнях значимости и достоверности. Оценка вероятности события по частоте. Понятие о проверке статистических гипотез. | ||
Задача №1. В таблице приведены результаты последнего тиража лотереи, в которой нужно было угадать 6 номеров из 49. Выигрыш выдавался за 3 и более угаданных номера: