по Основам Конструирования Приборов Морозовой Анастасии Владимировны (стр. 1 из 6)

МОСКОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
имени Н.Э.Баумана.

________________________________________________

Группа РКТ 1-31

Реферат по
Основам Конструирования Приборов

Морозовой Анастасии Владимировны

Напряженное и деформированное состояния при растяжении и сжатии

Рассмотрим более детально особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим сначала напряжения в некоторой наклонной площадке, составляющей угол α с плоскостью нормального сечения (рис. 1). Полное напряжение p на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодействующая же внутренних сил в сечении должна
быть направлена по оси стержня и равна величине растягивающей силы σF, т. е.

pF_α = σF,

где F_α—площадь косого сечения:

F_α=F∕cosα

Таким образом, полное напряжение на наклонной площадке равно

р = σ cos α.

Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке (рис. 1, в), находим

σ_α= р cosα, τ_α = р sinα,

или

σ_α = σ соs²α, (1.1)

τ_α = 1∕2σ sin2α. (1.2)

Как видим, для одной и той же точки растянутого стержня величина возникающих в сечении напряжений оказывается различной в зависимости от ориентации секущей площадки. Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, что при растяжении возникают только нормальные напряжения. Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня.

Рис. 1

Если положить α = 0, то из выражений (1.1) и (1.2) мы получим напряжения в поперечном сечении стержня, т. е.

σ_α = σ, τ_α = 0.

При α = 90°, т. е. в продольных сечениях, σ_α = τ_α = 0. Это значит, что продольные слои растянутого стержня не имеют друг с другом силового взаимодействия по боковым поверхностям. В этом смысле растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных друг с другом параллельных нитей.

Касательное напряжение τ_α, обращаясь в нуль в продольных и поперечных сечениях, имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом 45° к оси растянутого стержня:

τ_max=σ/2

Если из растянутой полосы мы выделим прямоугольник (рис.2, а), то на его гранях АВ и CD следует приложить напряжения σ_αи τ_α, определяемые выражениями (1.1) и (1.2). На рис. 33, б эти напряжения отмечены сверху штрихом. На гранях ВС и AD напряжения определяются из тех же выражений, в которых только угол α заменяется углом α+π/2. Эти напряжения отмечены двумя штрихами. Таким образом, то напряженное состояние, которое показано на рис. 2, б представляет собой обыкновенное растяжение, но изображенное в непривычном для нас ракурсе.

Существенно отметить, что переход от произвольной площадки (α) к площадке (α+90°) не сказывается на абсолютной величине касательного напряжения τ_α. Действительно,

│1/2σ sin2α│ = │1/2σ sin2(α+90°)│ .

Рис. 2

Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (если отвлечься пока от знаков) касательные напряжения должны быть равными. Это условие является общей особенностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.

Этому закону можно дать наглядное толкование. Если рассмотреть произвольно взятый элемент ABCD (рис. 2, а), то легко заметить, что, независимо от величин нормальных напряжений σ' и σ", касательные напряжения τ' и τ" должны быть такой величины и иметь такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались .(рис. 2, б). Для произвольно взятого элемента, имеющего толщину h, очевидно, что

τ' ABhAD = τ" ADhAB.

Таким образом,

τ′=τ″.

При этом, как видно из рис. 2, б, векторы касательных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо оба к общему ребру (ребра А и С), либо от общего ребра (В и D).

Рис. 3

Теперь обратимся к анализу деформированного состояния растянутого стержня.

Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис. 3). Таким образом, при растяжении возникает не только

продольная, но и поперечная деформация стержня.

Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис. 3). Таким образом, при растяжении возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня,

ε_прод = ∆ℓ/ℓ, ε_попер = ∆а/а.

Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной,

ε_попер = μ ε_прод (1.12)

где μ - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона. Величина μ характеризует свойства материала и определяется экспериментально. Для всех металлов числовые значения μ лежат в пределах 0,25÷0,35. Для изотропного материала величина μ вообще не может превышать 0,5.

Рис. 4

Вернемся к рис. 2, а. Полоса удлиняется в продольном направлении и сужается в поперечном. Стороны прямоугольника ABCD, начерченного на поверхности полосы, изменят свою длину, а сам прямоугольник перекосится и превратится в параллелограмм. Углы А и С уменьшатся, а В и D — увеличатся. Это изменение прямого угла для заданной ориентации сторон, как нам уже известно, называется угловой деформацией или углом сдвига. Чтобы найти его, мы определим сначала углы, на которые повернутся отрезки АВ и AD. Разность этих углов и даст нам искомый угол сдвига.

Начнем с отрезка АВ (рис. 4). Построим на нем, как на диагонали, вспомогательный прямоугольник AKBL, стороны которого KB и AL ориентированы по продольной оси стержня. Вследствие продольного удлинения точка В переместится вправо и отрезок АВ повернется на угол

В результате поперечного сужения отрезок А В получит дополнительный угол поворота

Сумма этих углов дает нам искомый угол поворота отрезка АВ:

или

Изменяя угол а на 90°, найдем угол поворота отрезка AD (рис. 2, а):

Угловая деформация (угол сдвига) определяется разностью углов поворота отрезков, и, следовательно,

Сопоставляя выражение γ_αс выражением (1.2), выведенным для напряжения τ_α, замечаем, что угол сдвига, независимо от ориентации осей, пропорционален касательному напряжению, возникающему в тех же плоскостях, т. е.

Это соотношение в случае изотропного материала является единым для всех типов напряженных состояний и носит название закона Гука для сдвига. Опуская индекс α, напишем последнее выражение в виде

где величина G называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода:

Размерность модуля G такая же, как и модуля Е, т. е. кГ/см².

Испытание материалов на растяжение и сжатие

При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы построить теорию. К числу таких исходных экспериментальных данных относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона μ. Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются. В первую очередь Е и μ зависят от типа материала и в некоторой степени от условий термической и механической обработки.

Для решения практических задач необходимо иметь еще числовые характеристики прочностных свойств материалов. При изучении процессов гибки и штамповки нужны числовые показатели, характеризующие способность материала пластически деформироваться. В ряде случаев надо иметь данные о способности материала противостоять действию высоких температур, работать при переменных нагрузках и пр.

В связи с этим создано много различных видов испытаний, но основными и наиболее распространенными являются испытания на растяжение и сжатие. При их помощи удается получить наиболее важные характеристики материала, находящие прямое применение в расчетной практике.

Рис. 5

Для испытания на растяжение используются специально изготовляемые образцы, которые большей частью вытачиваются из прутковых заготовок или вырезаются из листа. Основной особенностью таких образцов является наличие усиленных мест захвата и плавного перехода к сравнительно узкой ослабленной рабочей части. На рис. 5 показано несколько типов таких образцов. Длина рабочей части ℓ_раб выбирается обычно раз в 15 большей диаметра d. При замерах деформаций используется только часть этой длины, не превышающая десяти диаметров. Существуют, однако, и более короткие образцы, у которых отношение ℓ_раб /d не превышает 5. В случае прямоугольного поперечного сечения в качестве характеристики, определяющей рабочую длину ℓ, принимается диаметр равновеликого круга d.