Þ Заменим (6) на бесконечный список аксиом:
"x$y [x = y] (6.1)
"x$y [2y = x] (6.2)
. . .
"x$y [ny = x] (6.n)
Утверждение 3. Любое конечное множество, истинное во всех полных абелевых группах, истинно и в некоторой неполной абелевой группе. Иными словами, понятие полной абелевой группы не является конечно аксиоматизируемым в логике I порядка.
(e) Абелева группа G является периодической группой, если
"x$n³[nx=0] (7)
Вновь попытаемся имитировать (7); но получится
"x [x=0Ú2x=0Ú¼Únx=0 ¼] (7¢)
Здесь n - переменная величина, может быть неограниченна для всех x в целом.
Изучение таких бесконечных формул является невозможным. Проясняет ситуацию
Утверждение 4. Множество предложений логики I порядка истинных во всех периодических абелевых группах, истинно некоторой непериодической абелевой группе H.
(На самом деле мы покажем, что если G - абелева группа, множество порядков элементов которой не ограничено, то существует непериодическая группа Н: GºH. Последнее означает, что каждое предложение логики первого порядка , истинное в G, также иcтинно и в H и наоборот. Поэтому класс периодических групп не может быть охарактеризован даже множеством аксиом I порядка конечным или бесконечным.
Доказательства утверждений проводится с помощью теоремы компактности [21].
4.4 Элементы среды саморазвития.
В соответствии с моделью ПО в компьютерном учебнике-задачнике среда саморазвития строится на понятии метатеории в рамках современного аксиоматического метода (логико-алгебраические спецификации). Так как в таком ракурсе этот вопрос не входит в задачу дипломной работы, то предлагается только перечень ключевых понятий, который составлен также на основании дипломов [31][32].
Ключевые понятия: универсальная алгебра, логика, модель, язык исчисления предикатов, язык исчисления высказываний, многообразия, клаузальная логика (хорновская), инициальная модель, многосортная логика, метатеория.
5 Реализация задания практикума для аппликативного стиля.
Наличие в системе задания практикума - нетривиальной классической задачи программирования - обусловлено
* во-первых, необходимостью обеспечить прагматическую основу, на которой могут быть предъявлены выбранные идеи и ориентиры;
* во-вторых, соответствием модели обучения и принципам РО (нацеленность на самостоятельную созидающую деятельность обучаемого);
* в-третьих, необходимостью обеспечить связность материала по выбранной теме.
Постановка задачи определена во Введении и Приложении F.
В данной дипломной работе приводится реализация задания практикума для аппликативного стиля.
Ïðèâåäåì âàðèàíòû ôîðìóëèðîâîê ðàçëè÷íîãî óðîâíÿ ñëîæíîñòè:
Âàðèàíò 1. Íåîáõîäèìî ðåøèòü в рамках группы óðàâíåíèå âèäàÅ1·õ·Å2=À, ãäå Å1, Å2 è À ïðîèçâîëüíûå òåðìû (âûðàæåíèÿ), õ-íåèçâåñòíîå äëÿ çàäàâàåìûõ èíòåðïðåòàöèé.
Âàðèàíò 2. Äàíà ãðóïïà öåëûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ. Èñïîëüçóÿ ßÏ Ëèñï
ïîçâîëèòü ïîëüçîâàòåëþ
- çàïèñàòü óðàâíåíèå âèäà Å1·õ·Å2=À, ãäå Å1, Å2 è À ïðîèçâîëüíûå âûðàæåíèÿ, ñîñòîÿùèå èç ÷ëåíîâ ýòîé ãðóïïû è çíàêà îïåðàöèè,
- ïðåîáðàçîâàòü ýòî óðàâíåíèå ê óïðîùåííîìó âèäó, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ãðóïïû,
- âû÷èñëèòü âûðàæåíèå â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå.
Âàðèàíò 1.Ðåøàÿ ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó - ðåàëèçîâàòü âçàèìîäåéñòâèå ñ "ãðóïïîé öåëûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ", ìû äîëæíû ïîíèìàòü, ÷òî ñìîæåì ðåøèòü òàêæå è áîëåå îáùóþ çàäà÷ó - ñ ãðóïïîé âîîáùå, ãäå ÷ëåí ãðóïïû - íå îáÿçàòåëüíî öåëîå ÷èñëî, îïåðàöèÿ - íå îáÿçàòåëüíî ñëîæåíèå, ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò '-x', íåéòðàëüíûé ýëåìåíò - '0'.  ðåøàåìîé â äàííûé ìîìåíò çàäà÷å èñïîëüçóåòñÿ êîíêðåòíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãðóïïû, òî åñòü öåëûå ÷èñëà, ñëîæåíèå, '-x', '0'. Óòî÷íåíèå èíòåðïðåòàöèè ãðóïïû â óñëîâèè çàäà÷è ïîÿâèëîñü ëèøü çàòåì, ÷òîáû ìû ìîãëè ðåàëüíî ïî÷óâñòâîâàòü è äðóãèå ïðîáëåìû, óæå ñâÿçàííûå ñ ôóíêöèîíàëüíûì ñòèëåì è Ëèñïîì. Ýòó èíòåðïðåòàöèþ ìîæíî çàìåíèòü íà ëþáóþ äðóãóþ, èñïîëüçóÿ ñìåøàíûå âû÷èñëåíèÿ.
Èòàê,
Âàðèàíò 3. Âû÷èñëèòü âûðàæåíèå â ëþáîé çàäàííîé òî÷êå, èñïîëüçóÿ âû÷èñëèòåëüíûå âîçìîæíîñòè ßÏ Ëèñï, ãäå âûðàæåíèå ïîíèìàåì êàê ÁÍÔ:
<âûðàæåíèå>::=<âûðàæåíèå><çíàê îïåðàöèè><âûðàæåíèå>
|(<âûðàæåíèå>)
|<id>
|<öåëîå ÷èñëî áåç çíàêà>
<çíàê îïåðàöèè>::= + | - .
Îáúÿñíèì öåëü ðàçáèåíèÿ çàäà÷è íà ïîñëåäîâàòåëüíûå ìàêåòû. Îíà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îáåñïå÷èòü îáó÷àåìîìó:
ÿñíîå âèäåíèå çàäà÷è,
âûäåëåíèå ýëåìåíòàðíûõ ñîñòàâëÿþùèõ è ïîíÿòèé,
è, íàêîíåö, âîçìîæíîñòü ðàçíåñòè âî âðåìåíè âûïîëíåíèå âñåãî çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà (ðàáîòà íàä âûïîëíåíèåì îäíîãî ìàêåòà çàíèìàåò â ñðåäíåì âðåìÿ îäíîãî “åñòåñòâåííîãî” ñåàíñà ðàáîòû çà êîìïüþòåðîì).
Ìàêåòàìè äëÿ ðåàëèçàöèè çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà ìîãóò áûòü:
1. Ââîä óðàâíåíèÿ.
2. Âåðèôèêàöèÿ óðàâíåíèÿ: ðàñïîçíàòü óðàâíåíèå; ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü âûðàæåíèé (íàïðèìåð, õ ìîæåò âñòðå÷àòüñÿ òîëüêî îäèí ðàç).