История развития цепных дробей и их приложения (стр. 3 из 4)
Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце XIX века для приближения аналитических функций подходящими дробями непрерывных дробей под общим названием аппроксимаций Паде, стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твёрдого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики.
Гейне в 1846-1847 гг. занимался гипергеометрическими функциями. Проблемой сходимости непрерывных дробей для отношений этих функций – Риман, и более полно этот вопрос был рассмотрен Томе. Решение задача представления произвольных степенных рядов цепными дробями было начато Штерном в 1832 г. и Хейлерманом в 1846 и продолжено Фробениусом и Стилтьесом. Интерес к этой теме проявляли многие математики, их работы играли большую роль для науки. Ею также активно занимались и русские учёные: в XIX веке работы П.Л. Чебышева, А.А.Маркова (1856-1922), И.В.Слешинского и других математиков внесли значительный вклад в теорию цепных дробей.
В Марийском педагогическом институте под руководством А.Н.Хованского в 50-60-е годы XX века работала аспирантура, в которой занимались исследованием аналитических вопросов цепных дробей. В последствии успешно защитили кандидатские диссертации и опубликовали ряд работ Г.В. Маурер [10, 11, 12, 13], Л.П. Шутова [26], C.С. Хлопонин [22, 23], В.К. Смышляев [19].
Таким образом, благодаря систематическому изучению Эйлером цепных дробей, многие математики, работающие в России и за её пределами, заинтересовались этим вопросом и продолжили его изучение в своих работах. Огромное количество работ, посвящённых теории цепных дробей, говорит о широких возможностях применения её к различным областям науки.
1.4 Приложения цепных дробей
Цепные и ветвящиеся цепные дроби обладают рядом уникальных свойств, обеспечивающих им широкое использование в теоретической и прикладной математике. Этим и объясняется повышенный интерес математиков к данной теории на протяжении нескольких веков.
Применение цепных дробей при решении классической задачи древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу (квадратура круга) сыграло свою роль при нахождении значения числа π. Проблема составления календаря тесно связана с цепными дробями. Впервые порядок в счёте времени попытался навести в I в. до. н.э. римский император Юлий Цезарь, но его календарь был не достаточно точен. По юлианскому календарю к XVI в. накопилась ошибка, составляющая уже около 10 суток. В результате чего была проведена следующая реформа календаря папой римским Григорием XIII, именем которого и называется действующая система календаря. Решением этой задачи занимались многие математики среди них и Омар Хайям, о его системе календаря было рассказано ранее. В 1864 г. русским астрономом И. Медлером была предложена ещё одна поправка к юлианскому календарю, основанная на нахождении уже четвёртой подходящей дроби к записи продолжительности астрономического года в виде цепной дроби. Решением ещё одной задачи XVII века занимался Х.Гюйгенс при построении планетария (С.8).
В настоящее время в теоретическом плане непрерывные дроби играют существенную роль, так как позволяют усилить и развить результаты классической математики на случай многих аргументов, причём сам аппарат цепных дробей зачастую подсказывает формулировки такого рода обобщений, в частности, в теории чисел.
Цепные дроби широко применяются в теории чисел: обобщены некоторые основные алгоритмы (алгоритм Евклида, Остроградского, Эйлера), найдено решение классической задачи об алгебраических иррациональностях высших степеней, найдены отдельные решения некоторых диофантовых уравнений и их систем.
Цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел.
Цепные дроби позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени. В вычислительной практике используются при решении сравнений первой степени, также удобны в использовании дробно-рациональные аппроксимации функций одного аргумента цепными дробями с помощью формул Обрешкова или Тиле по методу Паде [24, Гл.3, §1, С.147]. Они также используются в теории сравнений.
На базе цепных дробей построены некоторые эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределённых уравнений вида
[14, Гл.3, §4, п.2, С. 81], 
[14, Гл.6, §4, С. 196], уравнений рекуррентного типа, и других типов уравнений. Решение задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений с частными производными можно представить ветвящимися цепными дробями, при наложении некоторых условий к системе и начальным условиям.Цепные дроби используются для нахождения приближенных представлений функций. Эти приближения, являющиеся дробно-рациональными функциями от независимых переменных успешно заменяют данную функцию в тех областях изменения аргумента, где, например, разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. При использовании дробно-рациональных приближений отпадает необходимость вычислять высокие степени аргумента и появляется возможность вычислять значения отдельных функций.
Теория матричных ветвящихся цепных дробей позволяет решить следующие задачи: извлечение квадратного корня, корня третьей, четвёртой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц, решение уравнений с помощью матриц второго порядка, решение уравнений высших степеней с помощью матриц. (Матричные рекуррентные уравнения применяются в задачах экономики, физики, плазмы и др.) [24, Гл.4, С. 176].
В настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.
Помимо теоретического использования правильных цепных дробей существуют и практические приложения цепных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие:
· Решение обратных задач теплопроводности [6];
· Исследование механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок [20];
· Синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах [3];
· Исследование устойчивости, исследование установившихся и переходных процессов, стабилизация систем, исследование и обеспечение качества систем, исследование случайных процессов, оптимизация параметров и ряд других проблем в технике, в частности, в автоматике, радиоэлектронике, приборостроении и др.[1].
Литература
1. Боднарчук, П.И. Успехи и задачи теории цепных и ветвящихся цепных дробей / П.И. Боднарчук, В.Я. Скоробогатько // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 5 – 8
2. Бухштаб, А.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. – Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1966. – 384 с.
3. Гапоненко, Н.П. Цепные дроби в синтезе устройств частотной селекции на функциональных времязадающихся элементах / Н.П.Гапоненко, Н.Н.Рябец // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 48 – 49.
4. Глейзер, Г.И. История математики в средней школе. Пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1970. - 461с., ил.
5. Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / У. Джоунс, В. Трон; Перевод с англ. В. Е. Кондрашова, С. Б. Королёва и И. Г. Турундаевской; под ред. И. Д. Софронова - М.: Мир, 1985. – 416 с.
6. Зотов, Е.Н. Решение обратных задач теплопроводности с помощью цепных дробей / Е.Н.Зотов, Н.П.Пучков, Ю.С. Шаталов // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 56 – 57.
7. Кудреватов, Г.А. Сборник задач по теории чисел / Г.А. Кудреватов. - М.: Просвещение, 1970. – с.
8. Ламберт, И.Г. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга. / И.Г. Ламберт // О квадратуре круга: сб. научных трудов / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 169-198
9. Математическая энциклопедия: В 5 т. Т. 5: Цепные дроби. – М.: Советская энциклопедия, 1985.
10. Маурер, Г.В. Решение одного дифференциального уравнения Риккати с помощью цепных дробей / Г.В. Маурер // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 76 – 77.
11. Маурер, Г.В. О разложении в цепные дроби некоторых предельных случаев функции Гейне. / Г.В. Маурер // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. –– С. 211-221.
12. Маурер, Г.В. О решениях некоторых диофантовых уравнений второй степени. / Г.В. Маурер // Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам: тезисы докладов. – М.: ТВП, 1995.