История развития цепных дробей и их приложения (стр. 1 из 4)

Содержание:

Введение				3
1	История развития цепных дробей и их приложения			6
	1.1	История появления и развития цепных дробей		6
	1.2	Применение цепных дробей в теории чисел		9
	1.3	Применение цепных дробей в аналитической теории		11
	1.4	Приложения цепных дробей		13
2	Приближение действительных чисел рациональными дробями			17
	2.1	Представление действительных чисел правильными цепными дробями		17
		2.1.1	Разложение действительного числа в правильную бесконечную цепную дробь	17
		2.1.2	Свертывания цепной дроби в обыкновенную дробь	20
	2.2	Приближения действительных чисел подходящими дробями		23
		2.2.1	Свойства подходящих дробей	23
		2.2.2	Оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью	26
		2.2.3	Доказательство теоремы Дирихле о диофантовых приближениях	31
3	Подходящие дроби в качестве наилучших приближений			36
	3.1	Сравнение точности приближения подходящей дробью и любым соответствующим рациональным числом		36
	3.2	Цепные дроби как аппарат отыскания наилучших приближений к заданному действительному числу		40
	3.3	Алгоритм выделения наилучших приближений к заданному числу из множества рациональных чисел		44
Заключение				48
Литература				49
Приложение 1				52

Введение

В вычислительной практике действительные числа заменяют рациональными, при этом рациональное число выбирают максимально простым в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или обыкновенной с небольшим знаменателем. В вопросах приближённого представления действительных чисел рациональными дробями большое значение имеет аппарат непрерывных (цепных) дробей.

Бесконечной цепной, или непрерывной, дробью общего вида называют разложение

где

и могут принимать произвольные, отличные от нуля рациональные значения, может быть равно нулю. Если в данной дроби все , ( ), то дробь будет называться правильной цепной дробью.

Также различают ветвящиеся цепные дроби:

Дроби такого вида широко применяются во многих вопросах вычислительной математики.

В своей основе вопросы теории цепных дробей доступны учащимся основной школы. Её алгоритмы основаны на применении алгоритма Евклида, выделения целой части числа. Её задачи связаны с аппроксимацией действительных чисел и опираются на теорию рациональных и действительных чисел.

Цель данной работы – изучить цепные дроби общего вида, рассмотреть возможные способы аппроксимации действительных чисел рациональными дробями и выбрать оптимальный, дающий наилучшие приближения.

Задачи:

1. рассмотреть вопросы истории, касающиеся появления и развития цепных дробей, а также их приложений;

2. овладеть алгоритмами нахождения подходящих дробей для действительных чисел;

3. изучить основные свойства подходящих дробей цепной дроби;

4. рассмотреть различные способы оценки погрешности, возникающие при аппроксимации действительных чисел рациональными дробями;

5. выбрать наилучшие способы аппроксимации действительных чисел;

6. подобрать примеры для иллюстрации теоретических положений.

Этапы исследования:

1. 2003-2004 Курсовая работа: «Приближение действительных чисел цепными (непрерывными) дробями»

2. 2004-2005 Курсовая работа: «Систематические цепные дроби как аппарат представления действительных чисел в школе»

3. 2005-2006 Выпускная квалификационная работа «Аппроксимация действительных чисел рациональными дробями».

Опытная проверка разработанного факультатива была проведена в 8-ом классе лицея им. М.В.Ломоносова г. Йошкар-Ола в 2004-2005 учебном году. Данный курс подтвердили интерес учащихся к данной теме, хорошее усвоение теории и успешность её применения к решению задач. По результатам апробации была опубликована статья «Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике» [18]. Результаты исследований докладывались на научной студенческой конференции в 2005, 2006 году.

Работа состоит из введения, трёх глав и заключения. Первая глава содержит вопросы истории появления и развития цепных дробей, в ней также рассматривается применение непрерывных дробей в теории чисел и аналитической теории, а также их приложения в других областях науки. Во вторую главу включены элементы теории цепных дробей: представление действительных чисел правильными цепными дробями, приближения действительных чисел подходящими дробями, оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью. В третьей главе показывается, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями действительного числа.

Ссылки в работе, отмеченные квадратными скобками, указывают на источник под соответствующим номером в списке литературы, а ссылки, отмеченные круглыми скобками, относятся к материалу данной работы.

1. История развития цепных дробей и их приложения

1.1 История появления и развития цепных дробей

По некоторым сведениям цепные дроби применялись уже математиками Древней Греции. Например, алгоритм Евклида (III в. до н.э.) тесно связан с цепными дробями. Возможно, что при нахождении приближения к числу

Архимед (ок. 287-212 до н.э.) пользовался методом, близкому к разложению в цепную дробь.

В 1858 году был найден в курортном городке на Ниле древний папирус, его называют также Папирусом Ахмеса по имени писца, переписавшего его в 1650 году до н. э. Если Архимед жил в III веке до нашей эры, то папирус Ринда относится, как минимум, к XVII; ведь Ахмес был только переписчиком, а автор (или, скорее, авторы этого труда) неизвестен, но он жил еще раньше. В папирусе Ринда содержится удивительная формула для вычисления площади круга:

, где S -площадь, а D – диаметр круга. Формула дана в виде рецепта: «Возьми диаметр круга и отбрось его девятую долю; на остающемся построй квадрат». Здесь используются наилучшие рациональные приближения. Трудно сказать, однако, как египтяне нашли этот коэффициент. Его могли найти и просто подбором – что абсолютно исключено в случае приближений , найденных Архимедом.

Известно, что китайский астроном Цзу Чун-чжи (V в. н.э.) показал, что π заключено между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве рационального приближения к π величину

.

Из средневековых математиков близко подошёл к цепным дробям Омар Хайям (ок. 1048-1122). Он положил их в основу своей идеи реформы календаря. Продолжительность года по его приближениям составляла

суток и составляла погрешность всего 19 секунд в год [4].

Но впервые цепные дроби как таковые появляются в «Алгебре» итальянского математика Рафаэль Бомбелли (1526-1572), вышедший в 1572 г. в статье, написанной в то время, когда в Италии и Франции впервые появились алгебраические понятия и обозначения. Бомбелли пришёл к цепным дробям, изучая извлечение квадратного корня из чисел. Первым известным использованием непрерывной дроби является приближённое выражение для

следующего вида [17]. Это частный случай формулы .

Следующее по времени применение цепной дроби, причём опять-таки к извлечению квадратных корней принадлежит итальянскому математику Пьетро Антонио Катальди (1552-1626), им был предложен второй частный случай данной формулы:

. В 1613 г. он ввёл при записи цепной дроби повторное применение дробной черты, т.е. уже настоящее обозначение цепной дроби, только вместо + он употреблял перлюэт (&), т.е. сокращённое обозначение латинского союза et (и). И его запись разложения выглядела следующим образом: =4& & … Кроме разложения иррационального числа в ряд Катальди ещё и нашёл приближения этого числа: и , между которыми заключён (хотя он не знал способа последовательного вычисления подходящих дробей). При этом Катальди заметил, что значение цепной дроби всегда заключено между соседними подходящими дробями.