«математические пакеты mathcad и mathematica в решении прикладных химических задач» (стр. 5 из 6)

(Промежуточные интермедиаты помечены звездочкой.)

Рассмотрим решение поставленной задачи с помощью редактора Mathcad. Так, скорость расходования ацетальдегида составляет:

Как видно, в выражение входит концентрация нестойких радикалов

. Если из вектора правых частей системы уравнений для математической модели экстрагировать строки, относящиеся к производным и , составить из них систему алгебраических уравнений и решить ее путем умножения на обратную матрицу, то можно выразить концентрации указанных интермедиатов через концентрации стабильных участников реакции:

Рис. 24 – Анализ кинетической модели в приближении квазистационарности в Mathcad.

Поскольку отрицательные корни уравнения не имеют смысла, и их мы отбрасываем, получаем , что стационарная концентрация радикалов

равна:

После подстановки полученного выражения в уравнение скорости расходования ацетальдегида получаем окончательное выражение, в которое входят концентрации только стабильных компонентов:

Аналогично получаем уравнения скоростей образования метана, оксида углерода и этана:

Весьма важно, что скорости накопления или расхода всех стабильных веществ, участвующих в процессе, зависят лишь от текущей концентрации ацетальдегида.

Рассмотрим решение данной задачи с помощью пакета Mathematica. Принцип нахождения остается прежний. Решение осуществляли с помощью функции Solve. Как видно из рис. 25 Mathematica легко находит корни заданных уравнений и при этом ответ выдается в более наглядной форме, что может быть удобнее при произведении расчетов обычным химиком, не владеющим в совершенстве математическим аппаратом:

Рис. 25 – Анализ кинетической модели в приближении квазистационарности в Mathematica.

Дальнейшие выводы формул зависимостей концентраций промежуточных интермедиатов от концентрации стабильных компонентов приведены выше.

3.6. Быстрое преобразование Фурье

Рассмотрим функции математических пакетов Mathcad и Mathematica которые позволят нам производить прямое и обратное преобразования Фурье для рассматриваемого примера реального сигнала спада свободной индукции ЯМР. Для начала зададим периодическую функцию в виде суперпозиции синусов:

где:

, , и равны 1, 2 и 3, а соответствующие амплитуды 1, 2 и 1 соответственно.

Для применения БПФ в среде Mathcad требуется представить данные в виде векторов времени и значений функции от времени. Число счетных точек N=1024 (число N должно быть целой степенью двойки: 128, 256, 512 и т. п.), временной промежуток τ=10 и шаг изменения времени dt=τ/N. Теперь определяем массив k=0..N и вектор времени t_k=k*dt (рис. 26) [6].

Рис.26 – Сумма трех синусоид с разными частотами и амплитудами (построение в Mathcad )

В среде Mathcad быстрое преобразование Фурье осуществляют функции fft, и cfft, вектор ответов вызывается командой, например, F:=fft(y). Сейчас наш вектор F является функцией от точки счета. Для его перевода в функцию от частоты введем дополнительный вектор

и построим для наглядности график (Рис. 27). Получились три пика при частотах, близких к 1, 2 и 3 и с соотношением амплитуд 1:2:1, как и было заданно.

Рис. 27 – Прямое преобразование Фурье в Mathcad

Для того чтобы убедиться в справедливости полученные результатов (Рис. 26) можно воспользоваться обратным преобразование Фурье. Для этого воспользуемся встроенной функцией ifft (Inverse Fast Fourier Transform). После данной процедуры должна получиться зависимость, идентичная той, которая представлена на рис. 28.

Рис. 28 – Обратное преобразование Фурье в MathCad

Данные процедуры можно также проделать и в пакете Mathematica. Для начала определим переменную y[t] в виде суммы трех синусов и построим график этой зависимости (рис. 29):

Рис. 29 – Сумма трех синусоид с разными частотами и амплитудами (построение в Mathematica)

Соответствующей функцией для прямого преобразования Фурье является FourierTransform. Однако, в отличие от функции fft пакета Mathcad, выходным параметром функции FourierTransform является аналитическое решение выражения:

Рис. 30 – Прямое преобразование Фурье в Mathematica

Как видно из рисунка 30 аналитическое решение содержит дельта функцию (DiracDelta), которую Mathematica не может отобразить графически. Чтобы убедиться в справедливости выражения, сделаем обратное преобразование Фурье от полученного аналитического выражения. Для этого воспользуемся функцией InverseFourierTransform, представив обратное преобразование Фурье графически, и убедимся в идентичности графика на рисунке 31 и на рисунке 29. Данная функция также позволяет получить аналитическое выражение преобразуемой функции:

Рис. 31 – Обратное преобразование Фурье в Mathematica

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Информационные технологии представляющие собой современные средства обработки и визуализации получаемой информации, становятся неотъемлемым инструментарием исследователя любой области современного знания. Математические пакеты, представляющие собой удобные и многофункциональные прикладные программы, помогают реализовывать численные эксперименты, решать сложные системы уравнений, получаемые при описании химико-физических процессов, визуализировать полученные данные.

При выполнении выпускной работы проведен анализ возможности применения математических пакетов Mathcad 12.0 и Mathematica 5.0 при решении наиболее типичных химических задач, требующих математической обработки результатов. С помощью указанных приложений были разобраны примеры решения простых функциональных уравнений, трансцендентных и дифференциальных уравнений для расчета скоростей изменения концентраций компонентов реакционных сред, а также рассмотрены возможности математических пакетов в проведении прямого и обратного Фурье преобразования.

В результате проделанной работы можно заключить, что математические пакеты Mathcad и Mathematica эффективно справляются с поставленными задачами интегрирования, численного решения простых и дифференциальных уравнений. Стоит отметить, что для получения результата в аналитическом виде, предпочтительнее использовать Mathematica, поскольку Mathcad проводит решение численными методами, в то время как осуществление Фурье преобразований для получения спектров ядерного магнитного резонанса, Mathcad, наоборот, более эффективен при построении графических решений. В заключение следует добавить, что пользовательский интерфейс среды Mathcad несколько удобен по сравнению с Mathematica, однако выбор программы, конечно, остается за исследователем.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ К РЕФЕРАТУ

Maple V................................................................................ 6

Mathcad 2, 4, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33

Mathematica 2, 4, 6, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 33

метод Булирша-Штера................................................. 22

метод Рунге-Кутты........................................................... 8

Метод Эйлера.................................................................... 7

преобразование Фурье..................... 2, 9, 27, 28, 29, 30

ряд Фурье........................................................................ 2, 9

ЭВМ................................................................................. 5, 6

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ В ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ

http://www.sciencedirect.com

На сайте можно найти практически все статьи по научной тематике, однако полные версии статей в основном платные.

http://www.elsiever.com

Данный сайт аналогичен предыдущему, однако упор тут делается на медико-биологические журналы. Опять таки доступ только к abstracts, но иногда открывают и полный доступ.