З. Получен интеграл Дюамеля, представляющий в замкнутой матричной форме уравнение реакции упругой ДДС при нестационарном воздействии и произвольном типе демпфирования. Впервые в структуре его подынтегрального выражения содержится фундаментальная матрица соответствующего однородного дифференциального уравнения движения, построенная на основе решения МКУ. Исследованы важные для приложений динамики сооружений частные случаи интеграла Дюамеля (удар, импульс, вибрационная нагрузка и др.). Впервые в замкнутом виде решена задача о колебаниях произвольной ДДС на действие периодических импульсов.
4. доказаны теоремы состояний, устанавливающие необходимые и достаточные условия невырожденного (вырожденного) состояния упругопластической конструкции в процессе ее реакции. Получены Двухсторонние априорные
оценки спектральных норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот в отдельных состояниях квазиупругой системы.
5. Разработаны математические модели неупругого расчета ДДС на основе идеальной упругопластической диаграммы Прандтля. Дано обобщение временного анализа реакция за пределом упругости при действии кратковременной нагрузки. Впервые уравнение реакция упругопластической системы получено в нетривиальной матричной форме интеграла Дюамеля.
6. Предложены новые модели неоднородного типа демпфирования (в рамках линейной теория вязкого сопротивления) для ДДС применительно к нестационарным динамическим задачам строительной механики.
7 Получены соотношения обобщенной ортогональности собственных форм колебаний произвольной упругой ДДС; дана механическая трактовка соотношений ортогональности, вытекающих из принципа Бетти.
8. Дано приложение уравнений реакция произвольной упругой ДДС к доказательству теорем взаимности, вследствие чего: расширена трактовка теорем взаимности и предложен общий метод их доказательства.
9. Впервые показано, что при общих предпосылках динамической задачи выражения векторов динамической составляющей реакции упругой ДДС и соответствующей статической составляющей связаны между собой аналитической зависимостью в виде матричной функция, характеризующей динамический эффект от действия произвольной нагрузки. Получены аналитические соотношения динамических матриц: податливостей, жесткостей, скоростей и импульсов.
На защиту выносятся.
1. Методика временного анализа реакции ДДС общего вида в динамических задачах строительной механики, теоретической основой которой является разработанный аналитический аппарат матричных уравнений.
2. Результаты исследований частных случаев интеграла Дюамеля при действии удара, вибрационной нагрузки, импульса, периодических импульсов и др.
З. Комплекс исследований по результатам анализа МКУ, в частности: свойства и структура матричных корней МКУ; обобщенная теорема Виета, итерационный алгоритм определения корней, принадлежащих общей корневой паре, условие обобщенной ортогональности матрицы собственных векторов.
4. Способ построения моделей демпфирования для учета внутреннего трения произвольной ДДС, основанный на импульсном единичном смещении дополнительных связей.
5. Результаты исследований по соотношениям обобщенной ортогональности собственных форм колебаний произвольной упругой ДДС.
6. Основные закономерности, касающиеся свойств и структуры полной системы разрешающих уравнений произвольной упругой ДДС, приводящие к выводу матричной функция, характеризующей учет динамического эффекта, и к общей схеме доказательства соотношений взаимности в диссипативных системах.
7. Теоремы состояний, формулирующие условия невырожденного (вырожденного) состояния конструкции при упругопластическом деформировании и двухсторонние априорные оценки спектральных норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот.
8. Математические модели упругопластического расчета ДДС на действие кратковременной нагрузки; методика временного анализа реакции за пределом упругости, основанная на предложенных математических моделях (алгоритм, технические приемы реализации и программа расчета).
Достоверность результатов исследования подтверждается: использованием в диссертации теоретически обоснованных методов строительной механики в соединении с методами высшей математики и аппаратом матричной алгебры; замкнутой формой выведенного интеграла Дюамеля при упругих колебаниях ДДС и сравнением его частных случаев при численном решении конкретных динамических задач с известными в литературе решениями; корректным применением математических моделей неупругого расчета, обеспечивающих замкнутое решение в шаговом процессе на всех квазиупругих интервалах движения системы; получением известных классических результатов, вытекающих из общих соотношений в предельных частных случаях.
Практическая ценность работы определяется следующими положениями.
1. Общее уравнение реакции системы - интеграл Дюамеля - обладает относительно простой математической формой записи, свойственной матричной формулировке задачи. Особенно простую и компактную форму имеют его частные представления (при ударе, вибрационном воздействии и т. д.). Все вычислительные операции по данным формулам сводятся к элементарным действиям над матрицами. Поэтому данная методика временного анализа может быть рекомендована проектным организациям и различным строительным фирмам.
2. Получено решение важного в прикладном отношении класса динамических задач о колебаниях ДДС под действием периодических импульсов. Решение такого рода задач существующими методами не представляется возможным из-за сложности учета внутреннего трения в конечномерных системах.
3. Открывается возможность получения априорных оценок спектральных динамических параметров ДДС не только в процессе упругопластического решения задачи, но и на этапе, предваряющем расчет.
4. Выведенный интеграл Дюамеля сам является инструментом анализа диссипативных систем, который можно использовать как при получении соотношений взаимности, так и для построения разнообразных практических методов расчета динамических конструкций в задачах строительной механики.
5. Разработаны расчетные алгоритмы и программы по решению МКУ, которые легко адаптируются применительно к широкому спектру задач о свободных и вынужденных колебаниях ДДС. Данные алгоритмы могут быть реализованы в различных приложениях строительной механики и теории упругости. Разработаны алгоритмы и прикладные программы по вычислению упругой и упругопластической реакции каркасных многоэтажных зданий с плоской и пространственной расчетной схемой на нестационарные воздействия.
6. На основе разработанного метода временного анализа вычисленные значения параметров реакция системы в упругой и упругопластической стадии могут быть использованы при оценке погрешностей приближенных решений, полученных различными численными методами и алгоритмами.
7. Динамический анализ упругопластических ДДС легко распространяется на нелинейно-упругие задачи, что значительно расширяет класс физически-нелинейных задач строительной механики, решаемых по методике временного анализа. При этом переход от схемы упругопластического анализа к схеме нелинейно-упругого временного анализа осуществляется с минимальными затратами, связанными с коррекцией математических моделей расчета.
Проведенные в работе исследования выполнены в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре строительной механики ЮУрГУ, по теме «Разработка теории и методов расчета де- формируемых систем при нестационарных внешних воздействиях» (№ государственной регистрации 01.980 006125, наименование этапа: «Разработка теории, методов и программ расчета диссипативных систем при нестационарных статических и динамических воздействиях в упругой и упругопластической стадии», 1998 .). С 1997 г. по 2000 г. работы проводились при финансовой поддержке Министерства образования РФ: грант по фундаментальным исследованиям в области архитектуры и строительных наук 1997-1998 гг. (тема проекта: «Решение некоторых задач строительной механики методом сведения к матричному квадратному уравнению»), грант по фундаментальным исследованиям в области архитектуры и строительных наук 1999-2000 гг. (тема проекта: «Использование интеграла Дюамеля в неупругом динамическом анализе конструкций»).
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались и обсуждались: на научной конференции инженерно-строительного факультета Ставропольского политехнического института (Ставрополь. 1991); 2-й Междунар. конф. «Циклические процессы в природе и обществе» (Ставрополь, 1994); Междунар. конф. по математической физике (Челябинск, 1995): 4-й Междунар. конф. «Циклы природы и общества» (Ставрополь, 1996); ежегод. науч.-техн. конф. НГАС (Новосибирск, 1996-1997): ХVI Междунар. конф «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 1998); Между нар. конф. «Численные и аналитические методы расчета конструкций» (Самара, 1998): Республ. науч.-техн. конф. «Архитектура и строительство. Проблемы развития теории сооружений и совершенствования строительных конструкций» (Томск, 1999), Третьих и Четвертых уральских академических чтениях «Реконструкция городов, отдельных зданий, сооружений и конструкций на Урале» (Екатеринбург, 1997; Челябинск, 1999); на науч. семинаре кафедры строительной механики Уральского госуд. техн. ун-та (Екатеринбург, 1994); объед. науч. семинаре двух кафедр («Механика сплошной среды» и «Высшая алгебра») Челябинского госуд. ун-та (Челябинск, 1995): объед. науч. семинаре трех кафедр («Сопротивление материалов», «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» и «Высшая математика») Саратовского госуд. техн. ун-та (Саратов, 1995); на науч. семинаре кафедры механики деформируемого твердого тела и прикладной информатики Саратовского госуд. техн. ун-та (Саратов. 2002).