В х строительной механики (стр. 4 из 8)
принадлежности к одной (i = j) или разным (i ¹ j) корневым парам (теоремы 5, 6, 7 и следствия к ним). В частности, показано (теоремы 5, 6), что для любых двух корней S(i), S(j) (i ¹ j) из разных корневых пар (2) их спектры содержат общие характеристические числа. Поэтому суммарный спектр этих матриц не охватывает полного спектра (3) алгебраической задачи. Этот факт делает невозможным построение общего интеграла однородного ОДУ с помощью матриц. Следовательно, если корни найдены с помощью стандартных алгебраических процедур, не учитывающих специфических свойств решений, то построенные на их основе фундаментальные матрицы не позволяют гарантированно осуществлять решение уравнения движения ДДС, что свидетельствует о неприспособленности ортогональных методов для выполнения подобной задачи.
Напротив, если матричные корни - из одной корневой пары (2), то, в соответствии с теоремой 7 и следствием к ней, их спектры не пересекаются между собой и в сумме дают весь спектр (3). Только в этом случае возможно построение общего интеграла однородного ОДУ движения ДДС, причем из всего множества корней в (2) достаточно взять только два решения, принадлежащих какой-либо одной корневой паре (при любом i).
На основании леммы 2 получена эквивалентная МКУ система уравнений
Предложен метод нахождения матричных корней Sk (k=1, 2), принадлежащих общей корневой паре в (2), сводящий задачу отыскания решения МКУ к проблеме определения значений V, U заданной структуры. Для вычисления матриц V, U в (4) применена итерационная схема, согласно которой системы разрешающих уравнений на k-м итерационном шаге имеют вид:
Шаг метода требует отыскания дискриминанта D(k) в (5) при заданном значении кососимметрической матрицы V(k). После извлечения корня квадратного из –A-1D(k) и вычисления значения симметрической матрицы U(k) из (6) формируется уравнение Ляпунова относительно нового приближения V(k+1)
Найденное значение V(k+1) служит основой для k+1-го шага итераций.
Приведены основные соотношения МКУ в базисе собственных векторов матрицы S= PLP-1 Î Mn,, при условии простого спектра. В новом базисе. определяемом преобразующей матрицей Р, получены нормальная форма МКУ, соотношение обобщенной ортогональности матрицы Р и условие ее нормирования.
В третьей главе «Построение и анализ моделей демпфирования» предложены новые модели неоднородного демпфирования и дан анализ известных моделей пропорционального демпфирования.
Анализ колебаний произвольной упругой ДДС с внутренним трением, учитываемым на основе модели упруговязкого сопротивления, требует рассмотрения матричного дифференциального уравнения движения
где M = diag (т1. ..., mn), C = Ct=[сij], K=Kt=[rij] Î Мn(R) (i,j = 1,.., n)- положительно определенные матрицы инерции, демпфирования и жесткости соответственно; Y(t) = [yi (t)], Р(t)= [рi (t)] Î Мn,1 (R) (i = 1,..., n) - векторы перемещений и заданных внешних воздействий; n - число степеней свободы ДДС.
Матрица Ф(t) = e5t является фундаментальной матрицей однородного ОДУ, соответствующего (7), если S Î Mn(С) (суть матрица внутренних динамических параметров ДДС) удовлетворяет характеристическому МКУ
Выполняя разложение Sk. в базисе собственник векторов (индекс k опущен):
будем иметь: Р Î Мn(С) - матрицу собственных форм демпфированных колебаний, L = diag (l1, ...,ln ) = -G + iW - матрицу спектральных характеристик ДДС, в которой G = - ReL = diаg(e1,…, en), W= ImL = diаg(w1,…, wn) - соответственно матрицы коэффициентов демпфирования и частот собственных колебаний.
Для приведенной матрицы демпфирования получено условие малости диссипации ДДС в виде априорной оценки верхней границы ее нормы
Здесь
= M-0,5 KM-0,5, 
= M-0,5 CM-0,5. Норма матрицы A = [aij] (I, j = 1,…,n) введена по формуле М(А) = n mах |aij|. Параметр относительного демпфирования x1 характеризует верхнюю границу допустимого уровня малой диссипации в ДДС В обычных условиях колебаний инженерных конструкций величина x1 £ 0.2.Для произвольной ДДС реализован подход к построению новых моделей демпфирования. Введена вспомогательная система с дополнительными жесткими опорами, закрепляющими массы от возможных перемещений вдоль степеней свободы. Для каждой введенной опоры поочередно задается единичное импульсное перемещение с характеристикой воздействия (временем импульсного пере-
мещения), равной Dtj = g / wj, где g = d / p (d - логарифмический декремент колебаний); wj - частота собственных колебаний вспомогательной консервативной системы с j-й подвижной связью (рис. 1, а). От заданных импульсных смещений отыскиваются реакции во всех дополнительных связях, имеющих смысл мгновенных реактивных импульсов: cij = rij Dtj (I, j = 1,…,n) (рис.1,6)В результате построены следующие модели демпфирования:
диагональная матрица, полученная из матрицы жесткости К обнулением всех ее побочных элементов; wk = (rkk/mk)0,5 (k = 1,…,n).
Модель Cd не учитывает диссипативных связей в ДДС, а – Сs построена путем симметризации модели (12): (С + Сt)/2. Доказано, что для всех предложенных моделей характерен неоднородный тип демпфирования.
Проведен анализ моделей пропорционального демпфирования и показано, что их реализация требует выполнения условия V= 0 в (9). Найдена связь известных условий разделимости уравнения движения в нормальных координатах (T.K. Caughey (1963 г.), D.W. Nicholson (1978 г.), А.А. Кусаинов (1987 г.)):
с одним из разрешающих уравнений МКУ в (10) UM-1C = CM-1U, являющимся
наиболее общим условием пропорционального демпфирования.
Приведен анализ собственных колебаний 3-этажного каркасного здания (рис. 2). Сечение железобетонных колонн каркаса: 0.4х0.4 м. РДМ здания имеет 9 степеней свободы (рис. 2, б). Значения жесткости колонн при изгибе и круче- вия составили: ЕJx = EJy = 50133 кНм2, GJ = 33690 кНм2. Матрица жесткости
Инерционные параметры системы по этажам составили: m1 = 7.19 кHс2/см, m2 = 4.18 кHс2/см, m3 = 3.05 кНс2/см; моменты инерции перекрытий этажей равны: J1 = 10785000 кН*см*с2, J2 = 2 508 000 кН*см* с2, J3 = 1 830 000 кН*см*с2. В результате матрица инерции M каркаса представлена в виде M = diag(Mxy, J2), где Mxy = diag(m1, m1, m2, m2, m3, m3), J2 = diag(J1, J2, J3).
На основе решения уравнений (10) по схеме (5), (6) для предложенных и известных моделей демпфирования (при d = 0.2) проведен анализ спектральных параметров системы. Сравнение численных оценок уровней демпфирования показывает, что для модели (12) наиболее близкие результаты дают модели А.И. Цейтлина и Рэлея с внутренним типом демпфирования C = bK (Рис. 3).
Четвертая глава «Упругий анализ дискретных диссипативных систем» посвящена разработке нового метода временного анализа реакции ДДС, приводящего к замкнутому решению в форме интеграла Дюамеля.
В начале главы дана систематизация свойств матриц и соотношений
играющих важную роль при интегрировании уравнения (7). Отмечено, что свойства (13) являются базовыми и проявляются для любой колебательной системы (консервативной. диссипативной, упругой, упругопластической и т. д.). для их выполнения важен лишь факт симметрии коэффициентов МКУ (8). Остальные свойства выполняются в зависимости от физических условий задачи.
Получены условия обобщенной ортогональности для любой пары собственных форм колебаний Pj, Pi (i, j = 1,…,n) и условия их нормирования при I = j.
Коэффициенты демпфирования ej, ei и собственные частоты wj, wi принадлежат соответствующим собственным значениям: lj = -ej + iwj, lI = -eI + iwi и формам колебаний: Pj, Pi (I, j = 1,…,n). Дана механическая трактовка соотношений ортогональности собственных форм. Показано, что эти соотношения вытекают из принципа Бетти, распространенного на область диссипативных систем.