В х строительной механики (стр. 5 из 8)

Разрешающие уравнения динамической задачи выведены путем непосредственного интегрирования уравнения движения ДДС (7), начиная от решения характеристического МКУ (8) через построение фундаментальных матриц однородного ОДУ и заканчивая получением общего интеграла неоднородного уран- нения движения (7) методом вариации произвольных постоянных. Полная система уравнений динамической реакции произвольной ДДС имеет вид

Уравнения (14) в замкнутой форме позволяют определить перемещения и скорости узлов упругой ДДС от действия произвольной динамической нагрузки

P(t). Первые члены матричных уравнений выражают реакцию системы при свободных колебаниях, совершаемых под действием начальных условий (векторы Y₀, Ý₀,), вторые - при вынужденных колебаниях.

Уравнение перемещений в (14) - наиболее общая матричная форма записи
интеграла Дюамеля для ДДС. Подчеркнута отличительная особенность этого уравнения от известных интегралов Дюамеля, состоящая в том, что оно не требует построения ИПФ -. наиболее трудоемкой части анализа. Выражение подынтегральной матричной функции H(t-t) = 2Rе {Ф(t-t)U^-1} записано в простой математической форме и содержит величины U, Ф(t-t), вычисление которых основано на решении МКУ, не прибегая к его спектральному разложению. Известный аналог матрицы H(t-t) (матрица функций Грина) в общем случае не имеет аналитического представления. Это является сильным препятствием при определении динамической реакции на основе ИПФ

В простейших случаях, важных для приложений строительной механики, из (14) при (t₀ = 0) Y₀ = Ý₀ = 0 получены вычислительные формулы для интеграла Дюамеля (рис. 4, 5).

Внезапно приложенные силы постоянной величины, исчезающие при t = t_j: Р(t) = Р₀, где Р₀ = [p_0j] (j = 1,…,n) (рис. 4, а). После интегрирования в (14) уравнение реакции ДДС на активном участке нагружения принимает вид (t£t₁):

где E - единичная матрица. При t³t₁ система совершает свободные колебания под действием начальных условий:

Вибрационная нагрузка Р(t) = sin (qt+ j)Р₀. Здесь q = diag (J₁,…, J_n), j = diag (j₁,…, j_n) - диагональные матрицы угловых частот и начальных фаз вибрационных сил, P₀ = [р_0j] (j = 1, ... , n) - вектор амплитуд возмущающих сил. На рис. 4, б показаны параметры нагрузки, действующей в j-м узле.

Полная реакция системы определена векторами перемещений и скоростей

Вычисление (15) связано с решением непрерывного уравнения Сльвестра

Исследованы случаи разрешимости уравнения (16). При полной диссипации ДДС (det C > 0) решение уравнения (16) всегда единственно. При колебаниях консервативной системы (С =0) существуют условия для неоднозначного решения. Эго происходит при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний (резонанс). Показано, что (16) эквивалентно n векторным уравнениям:

где I_k (t), F_k(t) - k-е столбцы матриц I(t), F(t).

Синусоидальный импульс P(t) = sin (qt)P₀, где q = Ep/t₁; P₀ = [p_0j] (j = 1,…,n) (рис. 4, в). Реакция ДДС на активном участке (t£t₁) вычисляется в соответствии с (15), где матричная функция I(t) определена при j = 0; I(t) = [(S^t)² + q²]^{-1 F}(t). Реакция системы при t³t₁ выражена уравнениями:

где Z(t) = [Ф(t) + Ф(t-t₁)][U(S² + q²)]^-1q.

Периодические импульсы. На рис. 5 показаны импульсы сил, действующие в j-м узле конструкция. Рассмотрено действие периодических импульсов прямоугольной и синусоидальной форм постоянной длины (t₀= t’_i – t_i-1), периодичности (T = t_i-t_i-1) и амплитуды p_0j.

Вычисление параметров реакции ДДС от действия последующих импульсов обеспечивается на основе информации (в виде начальных условий: Y₀, Ý₀) о кинематических характеристиках узлов системы, вызываемых предыдущим импульсным воздействием. Получена система уравнений, определяющих реакцию при вынужденных колебаниях от действия i-й группы импульсов (t_i-1£t£t’_i):

Для случая прямоугольной и синусоидальной форм импульсов матричная функция y(t) представлена соответствующими выражениями:

После исчезновения i-й группы импульсов ДДС совершает свободные колебания на интервале времени (t’_i£t£t_i):

под действием начальных условий, назначаемых на основе (17) в конце предыдущего интервала времени: Y₀=Y(t’_i), Ý₀=Ý(t’_i)

Приведен анализ реакции каркасного здания, изображенного на рис. 2, на действие периодических синусоидальных импульсов и вибрационной нагрузки. В соответствии с РДМ (рис. 2, б), вектор Y(t) (17) имеет следующую структуру:

Y(t) = [x_i(t), y_i(t), x₂(t), y₂(t), x₃(t), y₃(t), j₁(t), j₂(t), j₃(t)]^T где x_i(t), y_i(t) - поступательные перемещения центра тяжести перекрытия i-го этажа вдоль осей х и y соответственно; j_i(t)- угол поворота перекрытия вокруг центра жесткости упругих связей i-го этажа.

Векторы сил действуют в уровнях перекрытий под углом a к оси х (рис. 2. а). Амплитуды импульсного воздействия на каркас вычислялись исходя из нормативного значения ветрового давления на поверхность здания, равного q = 3.5 × 10⁵ кН/см². Для вектора амплитуд Р₀ = [F₀, M₀]^T при a = 45° имеем F₀ = [33, 33, 22, 22, 10, 10] кH; M₀ = [13608, 0, 0] кHсм. При длине импульсов t_a = 0.15 с рассмотрено действие на каркас одиночных ударов и периодических импульсов с периодичностью, равной половине периода: T = 0.5 T₁ = 0.3332 с и периоду основного тона колебаний T= T₁ = 0.6663 с, где T₁ = 2p /w₁, w₁ = 9.4298 с^-1.

На рис. 6-9 приведены осциллограммы параметров динамической реакции каркаса при периодичности импульсов T₁/2. Перемещения (рис. 6) и скорости (рис. 7) центров тяжести перекрытий на осциллограммах представлены обеими линейными составляющими в направлении осей х (a), у (б) и угловой составляющей (в); восстанавливающие (рис. 8) и диссипативные (рис. 9) силы, действующие в перекрытиях этажей, - линейной составляющей по оси х (а) и угловой составляющей (б). Сравнительный анализ реакции здания оценивался с помощью модели А.И. Цейтлина C = gM

(пунктир).

Проведен анализ наиболее загруженных колонн каркаса при варьировании ряда параметров периодического импульса. При циклическом изменении параметров t_a и a строились поверхности максимальных нормальных напряжений в зависимости от периодичности импульсов. Число повторений импульсов во всех случаях принималось, равным 5.

На рис. 10, а приведена поверхность нормальных напряжений, построенная на сетке из 45х33 узлов при периодичности импульсов T = 2t_a. Интервалы варьируемых величин: t_a Î [0.02, 0.9] с (при шаге Dt_a= 0.02), a Î [0, p/2] рад (при шаге Da = p/64 рад). Шаг временного анализа на активном участке составлял 0.01 с, на участке свободных колебаний - 0.016 с. Рассматриваемый режим нагружения (при T = 2t_a) характерен для случая действия ветровой нагрузки, пульсационная составляющая которой может быть моделирована в виде периодического импульса. Поверхность нормальных напряжений, построенная при периодичности импульсов T = 0.3332 с (рис. 10, 6), имеет следующие характеристики. Сетка содержит 21х17 узлов, параметры нагружения: t_a Î [0.01, 0.31] с; a Î [0, p/2] рад. Шаг временного анализа - 0.01 c.

Вибрационное воздействие на каркас осуществлялось с помощью двух сил F_i(t) = F₀ sin(J_it + j_i) (i = 1, 3), действующих в уровнях перекрытий 1-го и 3-го этажей. Причем вектор силы F_i(t) совпадает с направлением оси у и приложен к центру тяжести перекрытия 1-го этажа, а вектор F₃(t) совпадает с направлением оси х, действуя по линии i-j на расстоянии l от центра тяжести перекрытия 3-го этажа (рис. 2,а). Параметры нагрузки:

F₀₁ = 15 кН, J₁ = 96 с^-1, j₁ = 0; F₀₃ = 20 кH, J₃ = 120 c^-1, j₃ ¹ 0.

Вектор амплитуд P₀ = [F₀, M₀]^T имеет следующие значения: F₀ = [0, 15, 0, 0, 20, 0] кН, М₀ = [500, 0, 12000] кHсм. Моментная составляющая M₀₁ = 500 кHсм вектора М₀, действующая в перекрытии 1-го этажа, получена вследствие несовпадения положения центра тяжести С₁ перекрытия с центром жесткости O₁ упругих связей (рис. 2, а).

Временной анализ реакции каркаса проводился при изменении фазы j₃ силы F₃ в интервале [0, 2p} с шагом Dj = p/36 рад (5°) относительно нулевой начальной фазы j₁ нагрузки F₁. По результатам анализа наибольшие отклонения в максимальных значениях нормальных напряжений и относительных перемещений концов наиболее нагруженной колонны каркаса соответствуют значениям j₃ = 1,484 рад (s_z = 0.084 МПа: 3-й этаж, колонна № 1; d = 0.0224 мм: 2-й этаж. колонна № 13) и j₃ = 3,142 рад (s_z = 0.181 Мпа, d = 0,049 мм: 3-й этаж, колонна № 1) и отличаются друг от друга более, чем а 2 раза.