В х строительной механики (стр. 7 из 8)
Для спектральных норм матриц коэффициентов демпфирования и собственных частот в отдельных состояниях квазиупругой системы построены двухсторонние априорные оценки:
нижние (a1, b1, b01 ) и верхние (a2, b2, b02) грани спектральных норм ||G||, ||W|| и ||W0|| (W0 - матрица собственных частот соответствующей консервативной системы), равных максимальным значениям внутренних динамических параметров ДДС: ||G|| = em = max (e1,…, en), ||W|| = wn, ||W0|| = w0n
Оценки (23) соответствуют упругим колебаниям ДДС при пропорциональном демпфировании. Оценки (24) - движению упругопластической системы, состояние которой удовлетворяет условию теоремы 6.4 при t Î [tq, tq+1] Ì [ti, tm]
На рис. 17, 18 дана графическая интерпретация двухсторонних оценок в зависимости от частотно-демпфированных уровней упругопластической ДДС. Показаны нижние (έ1(t), ώ1(t), ώ01(t)) и верхние (έ2(t), ώ2(t), ώ02(t)) грани норм ||G(t)||, ||W(t)|| и ||W0(t)|| на всем участке упругопластического нагружения, когда выполняются условия теоремы 6.1 (t Ï [ti, tm]), теорем 6.2 и 6.3 (t Î [ti, tm]) (рис. 17), а также теорем 6.4 и 6.5 (ПВС при t Î [tq, tq+1]) (рис. 18).
Седьмая глава «Неупругий временной анализ: обобщение интеграла Дюамеля» посвящена разработке метода динамического расчета диссипативных конструкций за пределом упругости при кратковременном нестационарном воздействии, построению и реализации разрешающих уравнений неупругих колебаний ДДС при различных состояниях квазиупругой системы.
На основе предложенных математических моделей построен шаговый процесс, в котором упругопластический расчет сведен к последовательности квазиупругих решений на интервалах времени t Î [ti, ti+1] (i = 0, 1,…). В результате интегрирования уравнения движения (20), с учетом (21), получены уравнения полной реакции квазиупругой системы
Приведенный результат есть обобщение интеграла Дюамеля для физически нелинейной системы с идеально упругопластическим поведением материала. Уравнения реакции ДДС (25) обеспечивают получение замкнутого решения в рамках принятой модели деформирования. Первые два члена в уравнениях, стоящие под знаком суммы, выражают реакцию системы при свободных колебаниях. Последний член - при вынужденных колебаниях. При этом уравнения реакции при свободных колебаниях включают реакцию от упругопластических смещений узлов ДДС при текучести и разгрузке.
Решены вопросы практической реализации уравнений неупругих колебаний ДДС. В зависимости от условий состояния квазиупругой системы получены расчетные формулы для вычисления второго интеграла в (26). При выполнении условий теоремы состояния 6.1 его вычисление проводится по формуле
где YR(ti) = K(ti)-1 [-R0(ti) + R*(ti)] - вектор упругопластических смещений узлов ДДС, накопленных к моменту времени t = ti; Ý0 = Y0 – YR(ti) - новый вектор начальных условий
При условии вырожденного состояния системы (теорема состояния 6.2) для интеграла .Jk(t) в (26) получено выражение в виде функционального ряда
При выполнении условия теоремы состояния 6.3 (С = 0) показано, что параметры динамической реакции в уравнениях (25) становятся неопределенными, ввиду det U=0 и неограниченного возрастания величины U-1 ®¥.
Приведены результаты временного анализа реакции на действие импульсов синусоидальной формы. Получена полная система разрешающих уравнений для различных промежуточных состояний квазиупругой системы и дана сводка уравнений во всех характерных режимах работы системы.
Показано, что вычисление реакции системы (как и при решении упругой задачи) связано с решением непрерывного уравнения Сильвестра, которое для случая полной диссипации системы всегда разрешимо однозначно. При С = 0 получено условие безрезонансного режима работы: J ³ kwn (0). где J - частота вынужденных колебаний; wn (0) - максимальная собственная частота колебаний упругой системы (J = J1, рис. 14). Коэффициент k > 1 регулирует ширину зарезонансной зоны. При условии J £ wn (0) вследствие подвижности спектра частот в упругопластическом процессе в системе возможен резонанс при совпадении параметра J с частотами w1(tb), w2(tr) и т. д. (J = J2, рис 14). Реакция системы во временных точках tb, tr.и т. д. имеет резонансные пики (бесконечные при С = 0 и конечные при полной диссипации системы) при невырожденном (рис. 14 и 19, а) и вырожденном (рис. 15 и 19,6) состояниях квазиупругой системы.
В заключительной восьмой главе «Анализ реакции трехэтажного здания при действии кратковременной нагрузки» приведен пример упругопластического анализа колебаний трехэтажного каркасного железобетонного здания с плоской расчетной схемой (рис. 20) на действие кратковременной нагрузки большой интенсивности при t1 = 0.8 с (рис. 4, в). детально рассмотрены все состояния квазиупрутой системы.
Из-за высокой скорости деформирования динамическая жесткость В колонн принята в соответствии с рекомендациями Н.Н. Попова и Б.С. Расторгуева. Коэффициенты жесткости колонн kj = 12Вj/(hj) составили: k1 = k2 = 2.4 кН/см, k3 = 3 кН/см (hj – высота j-го этажа). Значения предельно упругих перемещений колонн этажей здания равны y0j = 1.2 см.
На основе инерционных и жесткостных характеристик конструкции сформированы следующие матрицы: M = diаg (0.1, 0.2, 0.2) кНс2/см,
Матрица демпфирования принята на основе модели (12) с последующей её симметризацией: C = (KT + TK)/2 при d = 0.2. Вектор амплитуд динамических сил имеет вид P0 = [8, 5, 5]T кН.
Основные этапы временного анализа здания сведены в табл. 1. Остаточные относительные перемещения определялись по формуле
На диаграмме «восстанавливающая сила - относительное перемещение» (рис. 21) изображены жесткости этажей конструкции в упругопластической стадии. Приведена осциллограмма перемещений верхнего этажа (сплошная линия) на отрезке времени 10 с (рис. 22, а). Для сравнения дана упругая реакция этажа (пунктир) и кривые относительных (штрихпунктир) и статических (точки) перемещений. Вследствие необратимых деформаций свободные колебания здания происходят относительно остаточных перемещений, накопленных по его этажам. Для верхнего узла при t ³ 1.695 с эта величина составила y*1= 10.5 см.
Характер изменения нелинейной восстанавливающей силы верхнего этажа R1(t) (рис. 22, б, сплошная линия) представлен всеми ее составляющими: квазиупругой (штрихпунктир), предельных значений R01(ti) (эта составляющая не равна нулю только на интервале t Î [0.526, 0.6621] с, совпадая на нем с величиной R1(t) и остаточных усилий R1* (ti) (двойной штрихпунктир). Упругий режим работы здания показан пунктиром.
Полную картину упругопластической работы здания иллюстрируют осциллограммы параметров реакции для всех этажей (рис. 23): (а) - перемещения yj(t), (б) - скорости ýj(t), (в) - восстанавливающие Rj(t) и (г) - диссипативные Fj(t) силы (пунктиром на рис. 23, а, б показана упругая реакция здания).
В табл. 2 приведены параметры собственных значений: коэффициенты демпфирования и собственные частоты квазиупругой системы.
Характер изменения собственных значений неупругой системы показан для коэффициентов демпфирования (рис. 24, а) и собственных частот (рис. 24, 6).
Полученные значения спектральных норм матриц G и W согласуются с априорными опенками (23), (24). Результаты динамического расчета свидетельствуют о высокой эффективности предлагаемого подхода и перспективности развития метода временного анализа при вычислении нелинейной реакции ДДС.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе. В приложениях дан обзор и изложено состояние вопроса по анализу матричных линейных и квадратичных уравнений (приложения 1, 2), а также приведены программы вычисления динамической реакции для упругой и упругопластической задач (приложения 3, 4).
Основные результаты работы и краткие выводы
1. Предложен новый аналитический подход к динамическому расчету ДДС на нестационарные воздействия в задачах строительной механики - метод временного анализа реакции ДДС, - базирующийся на разработанном методе анализа матричных уравнений линейного и квадратичного вида.
2. Исследованы свойства решения МКУ, доказана обобщенная теорема Виета о сумме и произведении матричных корней; показано, что все решения МКУ структурированы в корневые пары (это понятие введено впервые); предложена итерационная схема определения корней, принадлежащих общей корневой паре, получено условие обобщенной ортогональности матрицы собственных векторов.