На правах рукописи
Потапов Александр Николаевич
МЕТОД ВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА РЕАКЦИИ
ДИСКРЕТНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ
В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Специальность 05.23.17 – «Строительная механика»
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Томск
2003
Работа выполнена в Южно-Уральском государственном университете
г. Челябинск).
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Н.Н. Белов;
доктор технических наук, профессор Б.А. Люкшин,
доктор технических наук, старший научный сотрудник А.А. Светашков.
Ведущая организация - Воронежский государственный архитектурно-
строительный университет.
Защита состоится 17 октября 2003 г., в 14 часов, на заседания диссертационного совета Д 212.265.01 при Томском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 634003, г Томск, пл. Соляная, 2, корп. 5, ауд. 307. Тел. (8-382-2) 65-42-61.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.
Автореферат разослав 10 сентября 2003 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Н.К. Скрипникова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕ?ИСТИКА РАБОТЫ
В диссертационной работе рассматриваются вопросы динамического расчета дискретных диссипативных систем (ДДС) на нестационарные воздействия в задачах строительной механики. Разработан аналитический подход к интегрированию уравнения колебаний ДДС, представляющий временной анализ общего вида, при котором учитываются внутреннее зрение (на основе линейной модели вязкого сопротивления) и физическая нелинейность материала.
Обоснование темы исследований и ее актуальность. Нужды практики предъявляют весьма жесткие требования надежности и экономичности при создании инженерных конструкций, работающих в условиях усложненного характера современного производства, обусловленного нестационарными воздействиями. В большинстве случаев, для оценки реальной работы динамической системы необходим учет сил неупругого сопротивления (диссипативных сил), оказывающих свое влияние на процесс колебаний. Эго ставит перед динамикой сооружений сложные задачи по построению и разработке более совершенных методов расчета. Обеспечение надежной работы конструкции должно сочетаться с разумной простотой метода, высокой точностью и эффективностью проводимого динамического анализа и, наконец, возможностью получения не только количественных, но и качественных оценок работы конструкции.
При моделирования сооружения дискретной расчетной схемой движение динамической системы описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Сведение к ОДУ позволяет использовать один из наиболее эффективных методов анализа дискретных систем - временной анализ реакции. Однако, несмотря на интенсивное развитие методов решения динамических задач дискретного вида, в области диссипативных конструкций временной анализ встречает большие затруднения.
Известные методы построения интеграла Дюамеля связаны только с расчетом линейно-деформируемых систем. При этом успех такого анализа, в значительной мере, зависит от типа используемых моделей демпфирования. Обычно при выборе моделей руководствуются тем, чтобы матрица демпфирования обеспечивала разделение уравнений движения ДДС в нормальных координатах. Для этой цели служат модели пропорционального (однородного) демпфирования. Учет внутреннего зрения в сложных диссипативных системах, не подчиняющихся классическому пропорциональному демпфированию, сильно затрудняет проведение временного анализа, поскольку уравнения движения в общем случае не разделяются в нормальных координатах. Поэтому применение традиционных методов временного анализа к диссипативным системам с «непропорциональным» (неоднородным) демпфированием приводит либо к погрешностям при вычислении реакции (как в методе разложения по собственным формам колебаний соответствующей консервативной системы), либо к трудоемким численным процедурам по построению матрицы импульсных переходных функций (ИПФ) (как в методе функций Грина).
В задачах нелинейных колебаний диссипативных конструкций, когда необходимо учитывать упругопластические или нелинейно-упругие свойства мате-
риала, интеграл Дюамеля не используется для определения реакции сооружения вообще, ввиду крайней труднодоступности временного анализа. Следовательно. при общей предпосылке динамической задачи теория временного анализа ДДС уже в упругой постановке не располагает методами, обеспечивающими надежную оценку динамической реакции сооружения.
Главная причина такого положения дел - в отсутствии разработанных в современной математической литературе эффективных аналитических процедур по решению алгебраической проблемы, которая для задачи колебаний ДДС с упруговязким сопротивлением имеет вид характеристического матричного квадратного уравнения (МКУ). Получившие за последние два-три десятилетия развитие численные методы, основанные на ортогональных преобразованиях, не дают удовлетворительного решения этой проблемы, так как алгоритмы данных методов не учитывают ни специальных свойств решений МКУ, ни его соотношений. Это является сильным тормозом в развитии теории динамического анализа ДДС в целом и требует создания таких методов временного анализа, которые были бы свободны от недостатков существующих подходов.
Отличительная черта предлагаемого подхода перед известными методами состоит в том, что его разрешающие уравнения построены на основе разработанного алгоритма решения МКУ. Метод в достаточной степени универсален. Он позволяет получать замкнутое решение при колебаниях ДДС общего вида, независимо от условий демпфирования и характера внешнего воздействия. Его можно использовать при проведении качественных оценок работы конструкции и при исследовании задач, связанных с вопросами ортогональности собственных форм колебаний и вопросами взаимности в ДДС, относящихся к фундаментальным проблемам строительной механики.
Метод допускает применение сложных постановок задач о действии динамических нагрузок в ДДС, учитывая требования сегодняшнего дня и акцентируя внимание на трудные для традиционного анализа задачи с неустановившимися режимами колебаний. Постановки задач касаются как видов динамических воздействий, так и сценариев нагружений (удары и импульсы различной природы, включая действие периодических импульсов вибрационные силы с неодинаковыми параметрами возбуждения в различных узлах ДДС и т. д.). Кроме того, не теряя общности, данный подход можно использовать в динамическом анализе важнейшего класса нелинейных задач: колебаниях ДДС с нелинейной восстанавливающей силой (при упругопластическом и нелинейно-упругом анализе).
Таким образом, тема диссертационной работы, посвященной развитию метода временного анализа реакции ДДС общего вида, является актуальной.
Целью диссертационной работы является решение научно-технической проблемы, заключающейся в разработке теоретических основ, математического аппарата и технических принципов реализации нового эффективного метода интегрирования уравнений движения ДДС при нестационарном воздействии в задачах строительной механики - метода временного анализа ДДС.
Теоретическую основу метода составляет аналитический аппарат алгебры матриц в сочетании с разработанными приемами анализа МКУ.
Для достижения названной цели были поставлены и решены следующие задачи.
1. Проведение анализа и создание метода решения МКУ, вывод соотношений Виета, исследование структуры и свойств матричных корней МКУ.
2. Построение полной системы разрешающих уравнений метода временного анализа произвольной упругой ДДС (вывод интеграла Дюамеля)
З. Исследование основных свойств разрешающих уравнений динамической реакции ДДС с целью обобщения закона взаимности в упругих диссипативных системах. Установление аналитических соотношений для динамических матриц податливостей, жесткостей, скоростей и импульсов.
4. Разработка и анализ новых моделей неоднородного типа демпфирования. отвечающих реальным условиям колебаний строительных конструкций.
5. Формулировка общих положений (теорем), характеризующих качественные уровни состояний квазиупругой системы и оценки работы диссипативной конструкции.
6. Построение математических моделей расчета ДДС при движении с идеальной упругопластической диаграммой Прандтля на действие кратковременной нагрузки. Вывод полной системы разрешающих уравнений метода временного анализа неупругой реакции ДДС (обобщение интеграла Дюамеля).
7. Разработка технических приемов реализации разрешающих уравнений неупругих колебаний в зависимости от условий состояния квазиупругой системы.
Научная новизна работы состоит в следующем.
1. Предложен новый аналитический подход к динамическому расчету ДДС на нестационарные воздействия в задачах строительной механики, - метод временного анализа реакции, базирующийся на разработанном математическом аппарате по решению матричных уравнений линейного и квадратичного видов.
2. Исследованы свойства и структура решения МКУ, доказана обобщенная теорема Виета, показано, что все решения МКУ структурированы в однотипные корневые пары (это понятие введено впервые); предложена итерационная схема определения корней, принадлежащих общей корневой паре; получено условие обобщенной ортогональности матрицы собственных векторов в спектральной задаче квадратичного вида.