Практическое задание 14 Компьютерное моделирование в школьном курсе информатики. Цели и задачи моделирования (стр. 2 из 4)
Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Математическое моделирование позволяет при помощи математических символов и зависимостей составить описание происходящего процесса.
Математическая модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью. Точность оценивается степенью совпадения предсказанных в процессе вычислительного эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными их значениями.
В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п. Процесс формирования математической модели и использование ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. Проведение исследований на такой модели называют вычислительным экспериментом.
Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.
Алгоритм - это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием. Математические модели могут представлять собой системы дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных), системы алгебраических уравнений, простые алгебраические уравнения, бинарные отношения, матрицы и др. Сложные модели требуют больших затрат времени на проведение вычислительных экспериментов. Системы уравнений таких моделей обычно отличаются плохой обусловленностью, что создает проблемы обеспечения устойчивости вычислительного процесса, достижения необходимой точности при приемлемых затратах времени.
Системный анализ и моделирование.
Моделируемые процессы весьма разнообразны по своей природе и степени сложности. В связи с этим существуют различные подходы к их анализу и способу построения моделей.
Все процессы делятся на детерминированные и стохастические.
Детерминированными называются такие процессы, в которых отсутствуют случайные воздействия, динамика которых полностью определяется начальными условиями, и динамические переменные являются функциями времени. Поэтому динамику можно однозначно предсказать на основе изучения его механизма. Модели отображающие детерминированные процессы называются детерминированными.
Стохастическими процессами называются такие, параметры которых изменяются случайно, под воздействием неконтролируемых дестабилизирующих воздействий, поэтому однозначно предсказать поведение таких процессов на основе их изучения затруднительно; можно говорить лишь о вероятности того или иного типа их поведения. В стохастических системах динамические переменные при фиксированных начальных условиях могут принимать различные значения. В то же время, может быть определена вероятность заданного значения динамической переменной и ее среднего значения. Модель отбражающая такой процесс называется стохастической.
Стохастическое поведение может быть следствием случайных воздействий на динамическую систему или, что очень существенно, выражать внутренние свойства системы. Стохастический процесс может быть следствием особенности системы и возникает при определенных условиях даже без внешних воздействий. Математическое моделирование позволяет установить условия, при которых динамическая система переходит от детерминированного процесса к стохастическому.
В соответствии с характером изучаемого процесса строятся жесткие или вероятностные модели.
Жесткие (детерминированные) модели строятся обычно без использования статистических вероятностных распределений. В этом случае определенному значению входного параметра процесса соответствует вполне определенное значение его выходного параметра. Связь между входным и выходным параметрами в этом случае является функциональной связью. Возьмем, например, закон Бойля—Мариотта, который формулируется следующим образом: «При постоянной температуре объем (V), данной массы газа обратно пропорционален давлению (р), т. е. V =сопst/р. Обозначив через Х объем газа и через Y его давление,-можно этот закон представить в виде следующей математической модели, описывающей функциональную связь между объемом газа;
(входной параметр) и его давлением (выходной параметр):
Y=В/Х, (1.1)
где В — постоянная величина, зависящая от единиц измерения давления и объема, а также от массы и температуры газа.
Поэтому, выбрав надлежащим образом меры для объема и давления, а также, считая массу и температуру газа постоянными, можно (с целью упрощения) принять B=1 и тогда выражение (1.1) примет вид
Y=1/Х. (1.2)
Если представить выражение (1.2) графически в прямоугольной системе координат (задавая определенные значения входного параметра X, вычисляем вполне определенные значения выходного параметра Y), получим кривую в виде гиперболы (рис. 1.2). С другой стороны, задаваясь постоянными значениями количества и температуры газа и проведя эксперимент по выяснению зависимости упругости газа от его объема, можно получить ряд экспериментальных точек и в прямоугольной системе координат построить ту же кривую. И тогда не представит труда от этой экспериментальной кривой, которая по виду близка к гиперболе, перейти к выражению (1.1). Такая легкость объясняется именно функциональной связью между входным и выходным параметрами исследуемого процесса, что является характерным для жестких моделей, описывающих детерминированные процессы.
Значительно сложнее обстоит дело с вероятностными моделями, описывающими стохастические процессы. Большинство изучаемых современных процессов носят, как правило, случайный характер, когда выходной параметр связан с входным параметром статистически, т. е. нельзя заранее с точностью, характерной для функциональной связи, предсказать значение выходного
 |
| Рис. 1.1. Графическое изображение закона Бойля-Мариотта |
| X |
для каждого определенного значения хi, которые наносят на прямоугольную систему координат, где по оси ординат откладывают значения 
, а по оси абсцисс — соответствующие им значения xi. Аналогичным образом находят средние значения 
, для каждого значения уx и также наносят на соответствующую прямоугольную систему координат. По виду графического изображения обработанных экспериментальных данных судят о наличии влияния одного параметра на другой. Если такое влияние обнаружено, то можно говорить о наличии, так называемой, корреляционной связи между рассматриваемыми параметрами. Полученные экспериментальные кривые называют кривыми регрессии, которые, в свою очередь, могут быть представлены уравнениями вида 
=f(Х) и 
=j(Y), называемыми уравнениями регрессии соответственно Y на Х и Х на Y. Насколько тесна корреляционная связь и является зависимость между рассматриваемыми параметрами прямолинейной или криволинейной,— объективный ответ даст проведение корреляционного и регрессионного анализа результатов экспериментальных данных.