Практическое задание 14 Компьютерное моделирование в школьном курсе информатики. Цели и задачи моделирования (стр. 3 из 4)

2. Оба признака Х и Y не строго связаны между собой, и их связь носит статистический характер. В этом случае каждому фиксированному значению х соответствуют не определенные значения у, а ряд изменяющихся вместе с изменением Х значений Y и, наоборот, каждому фиксированному значению у соответствует ряд значений X, которые тоже изменяются с изменением Y.

3. Оба признака Х и Y не связаны между собой. В этом случае значения признака Y не меняются с изменением X, и наоборот. Таким образом, оба признака Х и Y не зависят друг от друга.

На практике связь между двумя признаками в интересующей области может быть линейной или приблизительной линейной. В тех случаях, когда она нелинейная, часто путем преобразования (логарифмированием, извлечением корня и т. п.) одного из признаков можно произвести линеаризацию характера кривой. Кроме того, практически любая нелинейная зависимость может быть разделена на участки с линейной зависимостью рассматриваемых признаков. «Наилучшая» прямая, выравнивающая опытные данные, определяется методом наименьших квадратов.

Если наблюдаемые значения признаков обозначить через (х₁, y₁), (х₂, y₂),..., (x_n, у_п), то прямая регрессии Y на Х запишется в виде

у=

+Ь(х—

), (1.3)

где

—средняя арифметическая значений у₁, y₂, ... , y_n,

—средняя арифметическая значений х₁, х₂,..., x_n; Y определяет ординаты точек вычисленной прямой в зависимости от значений признака X. Коэффициент Ь в уравнении (1.3) называют коэффициентом регрессии У на Х и определяют по формуле

Если рассматривать характер изменения Х по Y, т. е. считать, что Х зависит от значений признака Y, то прямая регрессии Х на Y будет иметь вид

х=

+Ь'(у-

), (1.4) где

Оба уравнения регрессии (1.3) и (1.4) не эквивалентны, так как Ь'¹1/Ь; прямая регрессии Y на Х не совпадает с прямой регрессии Х на Y, хотя обе они проходят через точку с координатами (

,

).

Полученные две прямые регрессии отражают различный подход к проблеме. В первом случае по известному значению Х получаем оценку для Y, а во втором случае по известному значению Y—оценку для X. Соответственно для сглаживания экспериментальных значений, находим минимум суммы квадратов отклонений по вертикали и горизонтали. Если форма связи рассматриваемых признаков определяется видом уравнения регрессии, то степень связи — коэффициентом корреляции r

Концептуальные модели.

Концепция определяется как комплекс требований к исследуемому объекту для выполнения его назначения и содержит описание основы фукционирования объекта.

Одним из важнейших первичных этапов математического моделирования является выбор концепции моделирования. Обычно математическая модель включает некоторые фундаментальные первичные законы, а также частные закономерности специфических для рассматриваемого объекта процессов. Не следует стремиться с самого начала работы к созданию адекватной модели рассматриваемого процесса, хотя эта цель должна, разумеется, существовать. Однако попытка сразу, с первого подхода, достигнуть высокой адекватности имеет шансы на реализацию только при наличии большого опыта математического моделирования именно в рассматриваемой области.

На любом уровне иерархии исследуемый объект можно представить в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают математические модели элементов и систем. При переходе к более высокому иерархическому уровню блочного структурированию система низшего уровня становится элементом системы нового уровня, и наоборот, при переходе к низшему уровню элемент становится системой. В этом случае часто оказывается нецелесообразным использование одних и тех же видов математических моделей на разных уровнях. Обычно чем ниже уровень иерархии блочного структурирования объекта (например, технического), тем более детальное описание его физических свойств. Следовательно, на низших уровнях используют наиболее сложные математические модели, На высших уровнях могут быть с успехом применены более простые модели. Их можно получить путем аппроксимации моделей низших иерархических уровней.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности.

При моделировании в новой области можно рекомендовать следующий подход к решению задачи. На первом этапе следует создать “грубую”, по терминологии академика А. А. Андронова, или даже “максимально грубую” модель. Речь идет об учете только небольшого числа самых существенных факторов. Разумеется, претендовать на высокую адекватность “грубой” модели не приходится. Однако работа с такой моделью разовьет интуицию исследователя и составит базу для создания следующей, более адекватной модели, в которую целесообразно включить дополнительный фактор по сравнению с теми, которые вошли в первую — самую “грубую” модель. Получив вторую модель, следует проверить, даст ли правильный результат предельный подход к первой модели. Этот переход можно осуществить, если, например, устремить к нулю какой-либо параметр, значение которого связано с дополнительным фактором, введенным во вторую модель. В результате предельного перехода будут получены уравнение “грубого” приближения и его решение. Такая проверка с помощью предельного перехода может быть проведена, как при численном решении задачи, так и при аналитическом.

Метод последовательного усложнения модели введением дополнительных факторов или процессов может продолжаться до достижения необходимой адекватности модели. Именно так поступают на практике, постепенно переходя от простого к более сложному. В качестве имитационной модели исследуемого процесса сначала рассматривается модель в виде линейного полинома (1-го порядка), как наиболее простой и грубой модели, и осуществляется первоначальное планирование и проведение эксперимента. Только после анализа и оценки результатов эксперимента переходят к более сложной предполагаемой имитационной модели (2-го порядка), на основании которой вновь осуществляют планирование и проведение эксперимента. После чего вновь проводятся анализ и оценка результатов эксперимента. Этот процесс усложнения имитационной модели продолжается до достижения необходимой адекватности математической модели исследуемому процессу.

К преимуществам системы разработки моделей, основанной на принципе постепенного перехода от простого к более сложному, следует отнести:

развитие интуиции в ходе моделирования;

дополнительный способ проверки правильности результатов;

выявление роли дополнительных факторов и их взаимодействий, которые последовательно вводятся в модель.

На основе анализа содержательного описания определяется общий замысел модели, выдвигаются основные гипотезы, фиксируются сделанные допущения. Уточняется задача моделирования. Обычно концептуальная модель сложной системы представляет собой упрощенное алгоритмическое отображение реальной системы. С учетом рекомендаций Н.П. Бусленко сложная система расчленяется на конечное число частей (декомпозиция системы), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Полученные части при необходимости вновь расчленяются до тех пор, пока не получатся элементы удобные для математического или алгоритмического описания. В результате этого сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции взаимосвязанных элементов, объединяемых в подсистемы (подмодели) различных уровней. При этом стремятся к тому, чтобы получаемые подмодели отвечали реально существующим фрагментам системы.

Структура моделей.

Структура - это упорядоченное множество элементов и их отношений.

Исследуемый объект при системном подходе рассматривается как система, состоящая из взаимодействующих элементов, составляющих упорядоченное множество. Структура объекта характеризуется качественным и количественным составом элементов и их взаиморасположением или взаимосвязями. Качественное различие элементов определяется их физическими свойствами. Количественно физические свойства элементов выражаются некоторыми скалярными величинами, называемыми параметрами элементов.

Физические свойства объекта определяются его структурой и параметрами элементов, из которых он состоит. Внешние воздействия зависят от физических свойств внешней среды и характера ее взаимодействия с объектом. Физические свойства внешней среды также определяются ее параметрами.

В принципе, существует множество толкований основных определений таких понятий, как компоненты и параметры модели, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции моделирования. Для определенности будем пользоваться следующими определениями: