«Геометрия на практике» (стр. 2 из 5)

Распространению на Руси геометрических знаний препятствовала церковь. Попы боялись, что вместе с книгами с запада в Россию будет проникать католическая религия, поэтому вводили жестокие меры против тех, кто занимался математикой. В одном древнерусском поучении говорится: «богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию».

В течение XVII века геометрические знания на Руси распространялись медленно.

В XVIII веке геометрия получила большое распространение. В России была открыты Академия наук, в Москве был открыт университет, во многих городах открывались школы и гимназии, появились учебники геометрии, как отечественные, так и переводные.

В конце XVIII в. у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказательства пятого постулата Евклида («И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых»), который из-за сложности формулировки обычно заменяют аксиомой параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Н. И. Лобачевский предпринял попытку доказать пятый постулат от противного, но не получил при этом противоречивых утверждений. В 1826 г. он сообщил об открытии новой геометрии, отличной от геометрии Евклида. Такая геометрия получила название геометрии Лобачевского. К аналогичным выводам пришёл венгерский математик Я. Бойяи и немецкий математик К. Ф. Гаусс.

Открытие новой геометрии оказало огромное влияние на развитие науки. Геометрия Лобачевского широко используется в естествознании. Неизмеримо влияние новой геометрии на развитие самой геометрии. Наиболее ярко оно выразилось в дальнейшем углублении наших представлений о пространстве: до Лобачевского казалось, что геометрией окружающего нас мира может быть только евклидова геометрия. Современной наукой установлено, что евклидова геометрия лишь приближённо, хотя и с большой точностью, описывает окружающее нас пространство, а в космических масштабах она имеет заметное отличие от геометрии реального пространства.

Бурное развитие математики в XIX в. привело к ряду замечательных открытий. Так, выдающимся немецким математиком Б. Риманом (1826 – 1866) была создана новая геометрия, обобщающая и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского.

В настоящее время геометрия широко используется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике, химии, биологии и т. д. Неоценимо её значение в прикладных науках: в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии широко применяются практически во всех разделах науке и техники и, конечно же, в самой математике.

2). Решение задач.

Задача № 1.

Определение расстояния до недоступной точки.

Дать геометрическое объяснение «способа козырька».

Этот способ часто применяется военными и туристами, для определения расстояния до недоступной точки.

Решение.

Луч зрения, касающийся обреза козырька (ладони, записной книжки), первоначально направлен на линию противоположного берега. Когда человек поворачивается, то луч зрения, подобно ножке циркуля, как бы описывает окружность, и тогда расстояние до предмета на том берегу равно расстоянию до предмета на этом берегу.

Задача № 2.

Определение высоты предмета.

Вот своеобразный способ определения высоты дерева - при помощи зеркала. На некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку Д, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ЕД), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СД от зеркала до наблюдателя. Почему?

Решение.

Способ основан на законе отражения света. Вершина А отражается в точке А' так, что АВ=А'В. Из подобия же треугольников ВСА' и СЕД следует, что АВ':ЕД=ВС:СД. В этой пропорции остается лишь заменить А'В равным ему АВ, чтобы обосновать указанное в задаче соотношение.

Этот удобный и нехлопотливый способ можно применять во всякую погоду, но не в густом насаждении, а к одиноко стоящему дереву.

Задача № 3.

Определение высоты предмета.

По способу Жюля Верна

Следующий – тоже весьма несложный – способ измерения предметов картинно описан у Жюля Верна в известном романе «Таинственный остров».

«-Сегодня нам надо измерить высоту площадки Далекого Вида, - сказал инженер.

-Вам понадобится для этого инструмент? - спросил Герберт.

- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.

-Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

-Да.

-Помнишь свойства подобных треугольников?

- Их сходственные стороны пропорциональны.

-Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же – мой луч. У другого основания треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же — мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

-Понял! - воскликнул юноша - Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

-Да. И следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты».

Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее - 15 футов, большее - 500 футов. По окончании измерений инженер составил следующую запись: 15:500=10:х, 500∙10=5000, 5000:15=333,3 Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.

Задача № 4.

Определение величины угла.

Тень ВС от отвесного шеста АВ высотой 4,2 м имеет 6,5 м длины. Какова в этот момент высота Солнца над горизонтом, т. е. как велик угол С?

Решение

sin

С =

Но

Поэтому sin

С = = 0,55.

Соответствующий угол равен 33°. Высота Солнца равна 33° с точностью до 0,5.

Задача № 5.

Определение расстояния.

Бродя с компасом (буссолью) возле реки, вы заметили, на ней островок А и желаете определить его расстояние от точки В на берегу. Для этого вы определяете по компасу величину угла АВN, составленного с направлением север – юг (NS) прямой B А. Затем измеряете длину отрезка ВС и определяете величину угла NВС между ним и NS. Наконец, то же самое делаете в точке С для прямой СА. Допустим, что вы получили следующие данные:

направление ВА отклоняется от NS к востоку на 52°

направление ВС отклоняется от NS к востоку на110°

направление СА отклоняется от NS к востоку на 27°

Длина ВС =187 м.

Как по этим данным вычислить расстояние ВА?

Решение

В треугольнике АВС нам известна сторона ВС. Угол АВС=110⁰-52⁰=58⁰; угол АСВ=180⁰-110⁰-27⁰=43⁰

Проведем в этом треугольнике высоту BD.

Имеем: sin

C = sin 43⁰ , значит sin C =0,68. Но sin C = , значит,

ВD= 187∙0,68=127.

Теперь в треугольнике АВD нам известен катет BD;

А =180°-(58°+43°) ==79° и АВD == 90° -79° = 11°. Синус 11° мы можем вычислить: он равен 0,19. Следовательно, = 0,19. С другой стороны, по теореме Пифагора

АВ²=BD²+AD².

Подставляя 0,19АВ вместо AD, а вместо ВD число 127, имеем:

AB²=127²+(0.19AB)²,

откуда АВ ≈129.

Итак, искомое расстояние до острова около 129м.

Задача № 6.

Вычисление синуса.

Рассмотрим, как можно вычислять стороны треугольника с точностью до 2% и углы с точностью до 1°, пользуясь одним лишь понятием синуса и не прибегая ни к таблицам, ни к формулам. Такая упрощенная тригонометрия может пригодиться во время загородной прогулки, когда таблиц под рукой нет, а формулы полузабыты. Робинзон на острове мог бы пользоваться такой тригонометрией. Что такое синус острого угла?