«Геометрия на практике» (стр. 3 из 5)

Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе в том треугольнике, который отсекается от угла перпендикуляром к одной из сторон.

D'

B'

D

В

С

А В Е Е' С' А С D

Например, sin

А= = = = . Вследствие подобия образовавшихся здесь треугольников все эти отношения равны друг другу.

Чему же равны синусы различных углов от 1°до 90°? Как узнать это, не имея под рукой таблиц? Весьма просто: надо составить таблицу синусов самому.

Начнем с тех углов, синусы которых нам известны из геометрии. Это, прежде всего, угол в 90°, синус которого равен 1. Затем угол в 45°, синус которого легко вычислить по теореме Пифагора; он равен

, т. е.0,707.

Далее нам известен синус 30°; так как катет, лежащий против такого угла, равен половине гипотенузы, то sin30⁰=

Итак, мы знаем синусы трех углов:

Sin90⁰=1,

sin30⁰=0,5,

sin45⁰=0,707.

Этого, конечно, недостаточно для решения геометрических задач; необходимо знать синусы и всех промежуточных углов, по крайней мере, через каждый градус. Для очень малых углов можно при вычислении синуса вместо отношения катета к гипотенузе брать без большой погрешности отношение дуги к радиусу:

Из рис. видно, что отношение

мало отличается от отношения .Последние же легко вычислить. Например, для угла в 1 дуга BD= , где =3,14159… и, следовательно, sin1^о можно принять равным = =0,0175. Таким же образом находим: sin2° =0,0349, sin3°= 0,0524, sin4°= 0,0698, sin 5° =0,0873.

Но надо убедиться, как далеко можно продолжать эту табличку, не делая большой погрешности. Если бы мы вычислили по такому способу sin 30°, то получили бы 0,524 вместо 0,500: разница была бы уже во второй значащей цифре, и погрешность составляла бы

т. е. около 5%. Это чересчур грубо даже для нетребовательной походной тригонометрии. Чтобы найти границу, до которой позволительно вести вычисление синусов по указанному приближенному способу, постараемся найти точным приёмом sin15°. Для этого воспользуемся следующим построением . Пусть sin15^о = . Продолжим ВС на равное расстояние до точки D, соединим А с D, тогда получим два равных треугольника: АDС и AВС и угол BAD, равный 30°. Опустим на АD перпендикуляр ВЕ;

образуется прямоугольный треугольник ВАЕ с углом 30°

(

ВAE), тогда ВЕ= . Далее вычисляем АЕ из треугольника АВЕ по теореме Пифагора: , АЕ²= АВ²

АЕ=

, АЕ=0,866АВ.

Значит, ЕD=АD– АЕ=АB– 0,866 АВ = 0,134 АВ. Теперь из треугольника ВЕD вычисляем ВD:

ВD²=ВЕ² + ЕD²,

BD²=0,268АВ²,

BD=

, BD =0,518AB.

Половина ВD, т.е. ВС равна 0,259AB, следовательно, искомый синус

sin15°=

= =0,259.

Это – табличное значение sin 15°, если ограничиться тремя знаками. Приближенное же значение его, которое мы нашли бы по прежнему способу, равно 0,262. Сопоставляя значения

0,259 и 0,262,

видим, что, ограничиваясь двумя значащими цифрами, мы получаем:

0,26 и 0,26,

т. е. тождественные результаты. Ошибка при замене более точного значения (0,259) приближенным (0,26) составляет

, т. е. около 0,4%. Это–погрешность, позволительная для походных расчетов, и, следовательно, синусы углов от 1 до 15° мы вправе вычислить по нашему приближенному способу.

Для промежутка от 15 до 30° мы можем вычислять синусы при помощи пропорций. Будем рассуждать так. Разность между sin30° и sin15° равна 0,50—0,26=0,24. Значит, можем мы допустить, что при увеличении угла на каждый градус синус его возрастает примерно на

этой разности, т. е. на =0,016. Строго говоря, это, конечно, не так, но отступление от указанного правила обнаруживается только в третьей значащей цифре, которую мы все равно отбрасываем. Итак, прибавляя последовательно по 0,016 к sin15°, получим синусы 16, 17, 18° и т. д.:

sin16^o=0,26+0,016=0,28,

sin17^o=0,26+0,032=0,29,

sin18^о=0,26+0,048=0,31,

………………………….

Sin25^о=0,26+0,16=0,42 и т. д.

Все эти синусы верны в первых двух десятичных знаках, т. е. с достаточной для наших целей точностью: они отличаются от истинных синусов менее чем на половину единицы последней цифры. Таким же способом поступают при вычислении синусов углов в промежутках между 30° и 45°. Разность sin45°— sin 30° = 0,707—0,5 = 0,207. Разделив ее на 15, имеем 0,014, Эту величину будем прибавлять последовательно к синусу 30°; тогда получим:

sin 31°=0,5 +0,014=0,51,

sin 32°=0,5+0,028=0,53,

sin 40°=0,5+0,14 =0,64 и т. д.

Остается найти синусы острых углов, больших 45°. В этом поможет нам теорема Пифагора. Пусть, например, мы желаем найти sin 53°, т. е. отношение

. Так как угол В равен 37°, то синус его мы можем вычислить по предыдущему: он равен 0,5+7Ч0,014=0,6. С другой стороны, мы знаем, что sin В= . Итак , = 0,6, откуда AС= 0,6ЧАВ. Зная АС, легко вычислить ВС. Этот отрезок равен = –АВ =0,8АВ. Расчет в общем нетруден, надо только уметь вычислять квадратные корни.

Задача № 7.

Извлечение квадратного корня.

Указываемый в курсах алгебры способ извлечения квадратных корней легко забывается. Но можно обойтись и без него. В моих учебных книгах по геометрии приведен древний упрощенный способ вычисления квадратных корней при помощи деления. Здесь сообщу другой старинный способ, также более простой, нежели рассматриваемый в курсах алгебры.

Пусть надо вычислить

. Он заключается между 3 и 4

и, следовательно, равен 3 с дробью, которую обозначим через х.

Итак,

=3+х, откуда 13==9+6х+х².

Квадрат дроби х есть малая дробь, которой в первом приближении можно пренебречь;

тогда имеем:

13= 9 + 6х. откуда 6х=4 и х =

= 0,67.

Значит, приближенно

= 3,67. Если мы хотим определить значение корня еще точнее, напишем уравнение =3 +у, где у – небольшая дробь положительная или отрицательная. Отсюда 13= + у+у² . Отбросив у², находим, что у приближенно равен – = –0,06. Следовательно во втором приближении =3,67–0,06= 3,61. Третье приближение находим тем же приемом и т, д.