«Геометрия на практике» (стр. 5 из 5)

Сравнив этот результат с тем, который получается, если взять

с большой степенью точности ( =3,141593), мы видим, что разница составляет всего 0,00006r. Если бы мы по этому способу выпрямляли окружность радиусом в 1 м, ошибка составляла бы для полуокружности всего 0,00006 м, а для полной окружности—0,00012 м, или 0,12 мм.

Задача № 12.

Треугольник с наибольшей площадью.

Какую форму нужно придать треугольнику, чтобы при данной сумме его сторон он имел наибольшую площадь? Мы заметили раньше, что этим свойством обладает равносторонний треугольник. Но как это доказать?

Решение.

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с и периметром а+b+c=2р выражается, как известно из курса геометрии, так:

S =

,

откуда

= .

Площадь S треугольника будет наибольшей тогда же, когда станет наибольшей величиной и ее квадрат S², или выражение

, где p, полупериметр, есть согласно условию величина неизменная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение становится наибольшим. Заметив, что сумма этих трех множителей есть величина постоянная,

p–a + p – b + p – c = 3p – (a + b + c) = 3p – 2p = p,

мы заключаем, что произведение их достигнет наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, т. е. когда осуществится равенство

р–а = р – b = р – с,

откуда а = b = с.

Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой.

Задача № 13.

Задача Наполеона.

Одно из 7 древних чудес света – египетские пирамиды. Самая знаменитая из них – пирамида Хеопса высотой 147 м., в основании которой квадрат со стороной 233 м. Если из каменных блоков пирамиды возвести стену толщиной 20 см вокруг Франции, то какова будет высота этой стены? (Общая длина морских и сухопутных границ Франции 5000 км, формула для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда:

, где S – площадь основания параллелепипеда, H – его высота, формула для вычисления объёма пирамиды: , где S – площадь основания пирамиды, H – её высота.)

Решение.

Объём пирамиды

, , (м³)

Объём прямоугольного параллелепипеда

, , , H=2,660161(м) или Н≈266 см. Итак, вокруг Франции можно возвести стену толщиной 20 см высотой примерно 266 см.

Задача № 14.

Задача о скорости.

Друзья поехали на рыбалку на велосипедах. Озеро, которое они облюбовали, находится в 9 км от ближайшей точки шоссе. Село расположено в 12 км по шоссе от этой точки. Туда ребята поехали напрямик к озеру, а обратно – сначала перпендикулярно к шоссе, а затем по шоссе. Скорость по бездорожью 8 км/ч. При какой скорости на шоссе обратный путь выгоднее по времени?

Решение.

Путь друзей образует прямоугольный треугольник, у которого известны катеты (дорога от шоссе до озера и дорога от этой точки шоссе до села). По теореме Пифагора найдём гипотенузу (дорога напрямую от села до озера) данного прямоугольного треугольника:

. Итак, расстояние от села до озера равно 15 км. Так как скорость по бездорожью равна 8 км/ч, то на путь к озеру ребята потратили время ч, t=1 ч, а на путь от озера до шоссе ч, t=1 ч. Обратный путь выгоднее по времени, если выполняется неравенство: , где – скорость по шоссе, , , . Так как по условию задачи число положительное, то >16. Значит, чтобы обратный путь был выгоднее по времени, друзья должны ехать со скоростью, большей 16 км/ч.

Задача № 15.

Измерение глубины реки.

Как измерить глубину реки, оставаясь на берегу реки? Известен такой способ. К грузилу привязывают две бечевки разной длины (пусть b и c), а на их концы поплавки. Всю эту конструкцию бросают в воду. Затем измеряют расстояние между поплавками (пусть оно равно a), когда их отнесёт течением. Как найти глубину h?

Решение.

Рассмотрим

МNК. S

М_NК= , где . С другой стороны, S

М_NК= . Тогда получим, что = , значит, .

3. Заключение.

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.

В книге «Диалектика природы» Ф.Энгельс определил геометрию как науку о пространственных формах окружающего нас реального мира, т.е. как часть математики, изучающую свойства пространства. Это философское определение полностью отражало состояние геометрии в то время, когда жил и работал Ф. Энгельс. Но в наше время возникли и оформились новые важные отделы геометрии. Каждый из этих разделов имеет свою специфику, которая уже не всегда укладывается в определение геометрии, данное в прошлом веке Ф. Энгельсом. Крупный советский геометр, академик А.Д. Александров, которому принадлежат работы, не только по геометрии, но и в области философии математики, расширил рамки энгельсовского определения, сказав, что геометрия изучает пространственные и пространственноподобные формы и отношения реального мира.

В учебнике геометрии имеется много задач, но практических мало. В своём реферате я рассмотрел наиболее часто встречающиеся практические задачи и способы применения теоретических знаний, например, как определить расстояние до недоступной точки, высоту предмета и некоторые другие. Таким образом, я постарался показать огромное практическое значение геометрии, так как трудно указать те отрасли народного хозяйства и науки куда бы не проникла геометрия. Без участия геометрии немыслимо было бы освоение космоса. Геометрия необходима и инженеру, и архитектуру, и колхознику. Изучение законов природы немыслимо без знаний математики. Не случайно известный итальянский физик и математик Галилей сказал так: «Природа говорит языком математики, буквы этого языка - круги, треугольники и иные математические знаки».

4. Литература:

1. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2002.

2. Готман Э. Г., Скопец З. А. Задача одна – решения разные: Геометрические задачи. – М.: Просвещение, 2000.

3. Фоминых Ю. Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов. – М.: Просвещение, 1999.

4. Зив Б. Г., Мейлер В. М., Баханский А. Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000.

5. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия, 7 – 9: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2002.

6. Энциклопедический словарь юного математика./Составитель Савин А. П. – М.: Педагогика, 1989.