а) двое мужчин и одна женщина;
б) только женщины;
в) хотя бы один мужчина.
2. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст экзамен на «отлично» равна для первого студента 0,7; для второго – 0,6; для третьего – 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»:
а) только одним студентом;
б) двумя студентами;
в) хотя бы одним студентом;
г) ни одним студентом?
3. Перед посевом 95% семян обрабатывается специальным раствором. Всхожесть семян после обработки составляет 99%, необработанных – 85%. Случайно выбранное семя проросло. Какова вероятность того, что оно обработанное?
4. Вероятность выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Найти вероятность того, что из 5-ти взятых облигаций выиграют более 3-х облигаций.
Вариант II
1. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3 изделия. Определить вероятность того, что:
а) одно из них повышенного качества;
б) все три повышенного качества;
в) хотя бы одно изделие повышенного качества.
2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,7. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:
а) только один экзамен;
б) только второй экзамен;
в) три экзамена;
г) по крайней мере два экзамена;
д) хотя бы один экзамен.
3. В группе 70% юношей, остальные – девушки. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовые телефоны. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал:
а) юноше;
б) девушке?
4. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей окажется не более одной нестандартной?
Вариант III
1. Из 40 деталей в ящике 5 бракованных деталей. Какова вероятность того, что взятые одновременно две детали окажутся:
а) небракованные;
б) одна – бракованная, другая – небракованная.
2. На предприятии имеются три автомобиля. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,9; второго – 0,7; третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течение определенного времени безотказно работают:
а) только 1 автомобиль;
б) хотя бы 2 автомобиля;
в) три автомобиля.
3. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Второе предприятие выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0,1; вторым – 0,15.
а) Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется нестандартным?
б) Взятое наудачу изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность того, что оно выпущено на втором предприятии?
4. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше 3-х девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Вариант IV
1. В группе 25 студентов, из них 10 – юношей и 15 – девушек. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу трех студентов окажутся:
а) три девушки;
б) две девушки;
в) хотя бы одна девушка?
2. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии равна 0,2; на втором – 0,35; на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды:
а) на всех предприятиях;
б) только на одном предприятии;
в) хотя бы на одном предприятии.
3. Первая бригада производит 75% всей продукции, изготовленной обеими бригадами. Вероятность того, что производимая продукция первой бригады окажется стандартной, равна 70%, для второй бригады – 80%.
а) Какова вероятность того, что взятая наудачу единица продукции окажется стандартной?
б) Какова вероятность того, что стандартная единица продукции произведена второй бригадой?
4. Производится 5 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что произойдет не менее 4-х попаданий.
2.1. Дискретная случайная величина
2.1.1. Выпущено 1000 билетов денежной лотереи, причем разыгрывается 1 выигрыш по 500 руб., 5 выигрышей по 250 руб., 10 выигрышей по 100 руб., 25 выигрышей по 50 руб. Составить закон распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
2.1.2. Вероятность выпуска нестандартного изделия 0,1. Из партии контролер берет изделие и проверяет его качество. Если изделие окажется нестандартным, партия задерживается, если оно стандартное, берется следующее. Всего он проверяет не более 5 изделий. Составить закон распределения вероятностей числа проверяемых изделий.
2.1.3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия 0,4. Производится 6 выстрелов. Составить закон распределения вероятностей числа попаданий.
2.1.4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
2.1.5. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X – числа выпадений четного числа объектов на двух игральных костях.
2.1.6. Дискретная случайная величина X имеет распределение, представленное таблицей:
| X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| p | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти M(X), D(X), σ(X).
2.1.7. Найти функцию распределения дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:
| X | 0,1 | 2,0 | 10,0 | 20,0 |
| p | 0,4 | 0,2 | 0,15 | 0,25 |
Построить ее график. Найти дисперсию этой случайной величины.
2.1.8. По линии связи передаются последовательно два сообщения. Вероятность искажения первого 0,1; для второго сообщения эта вероятность 0,25. Составить закон распределения вероятностей числа правильно переданных сообщений. Найти числовые характеристики этого распределения, функцию распределения, построить ее график.
2.1.9. Стрелок имеет 3 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. При попадании в мишень стрельба прекращается. Составить закон распределения, найти числовые характеристики и функцию распределения случайной величины X, где X – число израсходованных патронов. Построить график функции распределения.
2.1.10. Производится 4 выстрела с вероятностями попадания: p1 = 0,6; p2 = 0,4; p3 = 0,5; p4 =0,7. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение общего числа попаданий.
2.1.11. Случайная величина X может принимать два возможных значения: x1 с вероятностью 0,3 и x2 c вероятностью 0,7, причем x2> x1. Найти x1 и x2, зная, что M(X) = 2,7; D(X) = 0,21.
2.1.12. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из этих значений 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.
2.1.13. Дан ряд распределения случайной величины:
| X | 2 | 4 |
| p | p1 | p2 |
Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия 0,84.
2.1.14. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
| X | 0 | 1 | 3 |
| p | 0,2 | 0,5 | ? |
| Y | 2 | 3 |
| p | 0,4 | ? |
Найти вероятности, с которыми эти случайные величины принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины 3X-2Y и проверить выполнение свойств математических ожиданий и дисперсий: M(3X-2Y)=3M(X)-2(Y); D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y).
2.1.15. Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:
| X, Y | 1 | 2 | 4 |
| p | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Составить закон распределения случайных величин 2X, X+Y, X2. Убедиться в том, что 2X ≠ X + Y, но M(2X) = M(X+Y). Также убедиться в том, что X 2 ≠ XY, но M(XY)=(M(X))2.
2.1.16. Даны две случайные величины X и Y, причем M(X)=5, M(Y)=3. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y.
2.1.17. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+2Y, если известно, что D(X)=5, D(Y)=6.
2.1.18. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события А в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X)=0,9.