Учебно-методическое пособие Кострома 2007 удк 519. 8 (075) (стр. 5 из 12)
2.1.19. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события А в трех независимых испытаниях равна 0,63.
2.1.20. Пусть X, Y, Z – случайные величины. X – выручка фирмы, Y – ее затраты, Z=X-Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка независимы и заданы распределениями:
| X | 3 | 4 | 5 |
| p | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| Y | 1 | 2 |
| p | 1/2 | 1/2 |
2.1.21. Пусть X – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях Z=XY в пересчете по курсу доллара Y, если выручка X не зависит от курса Y, а распределения X иY имеют вид:
| X | 1000 | 2000 |
| p | 0,7 | 0,3 |
| Y | 25 | 27 |
| p | 0,4 | 0,6 |
2.1.22. Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке бухгалтерского баланса, равна 0,05. Аудитору на заключение представлено 2 баланса. Составить закон распределения числа правильных заключений на проверяемые балансы.
2.2. Непрерывная случайная величина
2.2.1. Случайная величина X задана функцией распределения:
Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (0; 1/3).
2.2.2. Функция распределения вероятностей случайной величины X имеет вид:
Найти ее плотность распределения вероятностей.
2.2.3. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения:
Определить коэффициент a, функцию распределения, вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
Построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.2.2.4. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси 0x равенством
Найти с.
2.2.5. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
в интервале 
, вне этого интервала 
. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу: а) 
б) 
в) 
г) 
2.2.6. Случайная величина X задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).
2.2.7. Случайная величина X задана функцией распределения:
Найти M(X), D(X), σ(X). Построить графики F(x) и f(x).
2.2.8. Случайная величина X задана функцией распределения:
Найти M(X), D(X), σ(X).
2.2.9. Функция f(x) задана в виде:
Найти:
а) значение постоянной А, при которой функция будет плотностью вероятностей некоторой случайной величины X;
б) функцию распределения F(x);
в) вычислить вероятность того, что случайная величина X примет значение на отрезке [2; 3];
г) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2.2.10. Случайная величина задана плотностью распределения
в интервале (0; 1), вне этого интервала 
.Найти:
а) параметр с;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
2.2.11. Случайная величина X в интервале (-с; с) задана плотностью распределения вероятностей
, вне этого интервала . Найти дисперсию D(X).2.2.12. Случайная величина X в интервале (0; π) задана плотностью распределения вероятностей
, вне этого интервала . Найти дисперсию D(X).2.3. Начальные и центральные моменты
2.3.1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
| X | 1 | 2 | 4 |
| P | 0,1 | 0,3 | 0,6 |
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.
2.3.2. Доказать, что для любой непрерывной случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю.
2.3.3. Случайная величина X задана плотностью распределения
в интервале (0;2), вне этого интервала . Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.2.3.4. Дискретная случайная величина имеет следующий закон распределения:
| X | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| P | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.
2.3.5. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет вид:
Найти коэффициент а и начальные центральные моменты первых четырех порядков.
2.3.6. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) плотность вероятности f(x);
б) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X);
в) вероятности P(X=0,5), P(X<0,5), P(0,5≤X≤1);
г) построить графики f(x) и F(x) и показать на них математическое ожидание M(X) и вероятности, найденные в п. в);
д) моду и медиану случайной величины X;
е) квантиль x0,4 и 20%-ю точку распределения X;
ж) коэффициент асимметрии и эксцесс.
2.3.7. Дана функция распределения случайной величины X:
а) Найти плотность вероятности f(x).
б) Построить графики f(x) и F(x).
в) Убедиться в том, что X – непрерывная случайная величина.
г) Найти P(X=1), P(X<1), P(1≤X<2) и показать их на графиках f(x) и F(x).
д) Найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), моду M0(X) и медиану Me(X).
2.3.8. Случайная величина X задана плотностью распределения
в интервале (0;1), вне этого интервала 
. Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс.2.3.9. Дан ряд распределения случайной величины:
| X | 2 | 4 | 6 | 8 |
| P | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков этой случайной величины, а также определить асимметрию и эксцесс.