Учебно-методическое пособие Кострома 2007 удк 519. 8 (075) (стр. 6 из 12)
2.3.10. Плотность распределения случайной величины X дана уравнениями:
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс.
2.3.11. Случайная величина X подчинена закону с плотностью вероятности
. Определить λ и эксцесс случайной величины.2.4. Основные законы распределения
Биномиальный закон. Распределение Пуассона
2.4.1. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2.4.2. Вероятность выигрыша по облигации займа за время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой случайной величины.
2.4.3. С вероятностью 0,3 каждый из 20 приборов является неточным. Составить таблицу распределения числа точных приборов среди отобранных 5 приборов. Определить математическое ожидание и дисперсию числа точных приборов.
2.4.4. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появления события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и M(X)=1,2.
2.4.5. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002.
а) Составить закон распределения отказавших за время t элементов.
б) Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
в) Найти вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент.
Равномерное распределение
2.4.6. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.
2.4.7. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти:
а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение этой случайной величины;
б) вероятность того, что ошибка округления: 1) меньше 0,04;
2) больше 0,05.
2.4.8. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности
в интервале (a;b), вне этого интервала 
.Найти:
а) функцию распределения;
б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение;
в) построить графики f(x) и F(x).
2.4.9. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X – в интервале (a;b); Y – в интервале (c;d). Найти математическое ожидание и дисперсию произведения X∙Y.
2.4.10. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (a;b). Найти функцию распределения и построить ее график.
Случайная величина с нормальным законом распределения
2.4.11. Случайная величина X имеет нормальное распределение, причем M(X)=1, σ(X)=2. Найти плотность распределения вероятностей, построить ее график. Найти функцию распределения и построить ее график.
2.4.12. Найти вероятность того, что случайная величина с нормальным законом распределения, у которой математическое ожидание равно 1, а дисперсия равна 4, примет значение меньше 0, но больше (-5).
2.4.13. Чему равна вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 1, примет значение из интервала (0,5; 3,5)?
2.4.14. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 40 и дисперсией D = 200. Вычислить вероятность попадания в интервал (30; 80).
2.4.15. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 15 и дисперсией D = 4.
Найти:
а) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (9; 19);
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-a окажется меньше δ = 3.
2.4.16. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайная ошибка измерения X подчинена нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 мкм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мкм.
2.4.17. Измеряемая случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с а=10, σ = 5. Найти симметричный относительно а интервал, в который с вероятностью p попадет измеряемое значение, если: 1) p1 =0,9974; 2) p2 = 0,9544; 3) p3 =0,50.
2.4.18. В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и 40% значений x больше 16,2. Найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение.
2.4.19. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, причем a=1. Известно, что P(X<2)=0,99. Вычислить M(X2).
2.4.20. Деталь, изготовляемая автоматом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Считая, что σ = 5 и X нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.
Контрольная работа по теме «Случайные величины»
Вариант I
1. Дан ряд распределения случайной величины X. Найти: а) M(X), D(X), σ(X), M(3X-2); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.
| X | -5 | -3 | 1 | 4 |
| p | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
2. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9; второй – 0,8; третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию) f(x); б) построить графики F(x) и f(x); в) вычислить математическое ожидание M(X), моду M0(X) и медиану Me(X); г) найти P(1<X<3).
4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).
Найти: а) параметр А;
б) функцию распределения F(x).
5. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции не выше 15,3 ден. ед.
Вариант II
1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ(X), M(2X+3); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.
| X | 1 | 3 | 5 | 6 |
| p | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают в срок кредиты с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из трех выданных. Найти M(X), D(X) и σ(X).
3. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию) f(x); б) построить графики F(x) и f(x); в) вычислить математическое ожидание M(X), моду M0(X) и медиану Me(X); г) найти вероятности P(X=1); P(X<2).
4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).
Найти: а) параметр B;
б) функцию распределения F(x).
5. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием 1000 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 900 до 1300 г.
Вариант III
1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ(X), M(2X+5); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.
| X | -4 | -2 | 1 | 5 |
| p | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти M(X), D(X), σ(X) этой случайной величины.