Учебно-методическое пособие Кострома 2007 удк 519. 8 (075) (стр. 1 из 12)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Костромской государственный технологический университет

Кафедра высшей математики

Т.А. Андревкина, Е.А. Борисова, Н.А.Иванова,

О.В. Назарова, А.К. Однодворцева

Учебно-методическое пособие

Кострома

2007

УДК 519.8 (075)

Сборник задач по теории вероятностей : учебно-методическое пособие / Т.А. Андревкина, Е.А. Борисова, Н.А.Иванова, О.В. Назарова, А.К. Однодворцева. – Кострома : Изд-во Костром. гос. технол. ун-та, 2007. – 38 с.

Пособие содержит задачи для самостоятельного решения по основным разделам теории вероятностей, предусмотренным программой дисциплины, и предназначено для студентов инженерных специальностей очной формы обучения. Большой объем заданий направлен на формирование навыков решения вероятностных задач и умений проводить анализ распределений случайных величин.

Учебно-методическое пособие предназначено студентам вузов для аудиторной и самостоятельной работы, а также для подготовки к контрольным работам и экзаменам.

Рецензенты:

канд. техн. наук, доцент кафедры ТХОМиТС А.Г. Безденежных

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом КГТУ

© Костромской государственный технологический университет, 2007

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………..		……………4
Раздел 1. Вероятность случайных событий…………………….		……………5
1.1.	Классическое определение вероятности. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий……………………………………………	……………5
1.2.	Формула полной вероятности. Формула Байеса...	……………10
1.3.	Повторные независимые испытания……………..	……………12
Формула Бернулли....................................................	……………12
Формула Пуассона………………………………...	……………13
Локальная формула Муавра-Лапласа…………....	……………13
Интегральная формула Муавра-Лапласа………..	……………14
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Случайные события»...		……………15
Раздел 2.	Случайные величины……………………………..	……………17
2.1.	Дискретная случайная величина………………....	……………17
2.2.	Непрерывная случайная величина……………….	……………19
2.3.	Начальные и центральные моменты……………..	……………21
2.4.	Основные законы распределения………………...	……………23
Биномиальный закон. Распределение Пуассона…	……………23
Равномерное распределение………………………	……………24
Случайная величина с нормальным законом распределения…………………………………….	……………24
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Случайные величины»...		……………26
ОТВЕТЫ к разделу 1…………………………………………….		……………30
ОТВЕТЫ к разделу 2……………………………………………..		……………31
ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………..		……………36

ВВЕДЕНИЕ

Базовый курс математики, изучаемый в высших учебных заведениях, традиционно разделялся на высшую математику, включающую разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, векторный анализ, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов и дифференциальных уравнений, и специальные курсы, к числу которых относится и теория вероятностей. Сборники задач также в большинстве случаев подчиняются этому делению. Однако, в последнее время в связи с сокращением часов на изучение математики, теория вероятностей не выделяется в самостоятельный курс и включается в дисциплину «математика» в виде отдельных элементов. В этой связи сборники задач по теории вероятностей, содержащие задачи, рассчитанные на широкое и достаточно глубокое изучение курса, не вполне соответствуют успешному усвоению отдельных его элементов (содержат небольшое число типичных задач).

Заметим, что изучение теории вероятностей обязательно должно сопровождаться решением задач. Только при этом условии вырабатывается теоретико-вероятностная интуиция специалиста, умение строить математические модели реальных процессов. Типичные задачи, как правило, разбираются в лекционных курсах, образцы решений приводятся в учебниках. Однако, известно, что «не возможно научиться решать задачи, если только смотреть, как это делают другие». Для того чтобы студенты могли не только познакомиться с основными типами задач и методами их решения, но и самостоятельно применять знания, необходима практика в решении задач.

В настоящем сборнике представлены задачи по разделам теории вероятностей в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов для инженерных и экономических специальностей. Задачи подобраны и скомплектованы таким образом, чтобы студенты могли освоить методы решений заданий разного типа. Объем материала достаточен для формирования навыка решения вероятностных задач и умения анализировать распределения случайных величин.

По разделам «Случайные события и их вероятности» и «Случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики» в сборнике приводятся варианты контрольных работ. Для большинства задач, включенных в сборник, указаны ответы. Все это позволяет использовать пособие для подготовки к контрольным работам и к практической части экзамена или зачета по разделам теории вероятностей.

Раздел 1. Вероятность случайных событий

1.1. Классическое определение вероятности.

Теоремы о вероятности суммы и произведения событий

1.1.1. В магазин поступили футболки: 60% производства Ярославской фабрики; 25% – Рижской и 15% – Ивановской фабрики. Какова вероятность того, что купленная наугад футболка изготовлена:

а) на Ярославской фабрике;

б) на Ивановской фабрике?

1.1.2. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек – 50%; красных – 20%; зеленых – 20%, остальные – синие. Какова вероятность того, что взятая наугад катушка окажется зеленой или синей?

1.1.3. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10% – у второго, 15% – у третьего, 25% – у четвертого и 30% – у пятого. Найти вероятность того, что в наугад выбранный момент времени он находится:

а) у 1-го или 3-го станка;

б) у 2-го или 5-го станка;

в) у 1-го или 4-го станка;

г) у 1-го, или 2-го, или 3-го станка;

д) у 4-го или 5-го.

1.1.4. На 30-ти одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 11 до 40. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером кратным: а) 2; б) 3; в) 2 или 3?

1.1.5. На предприятии брак составляет в среднем 2% общего выпуска изделий. Среди годных изделия первого сорта составляют 95%. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта, если изделие взято:

а) из числа прошедших проверку;

б) из общей массы изготовленной продукции?

1.1.6. На полке лежат 12 учебников, из них 7 – по математике. Студент берет наудачу 5 учебников. Какова вероятность того, что взяты учебники по математике?

1.1.7. Из колоды в 36 карт наудачу выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них два туза?

1.1.8. У сборщика 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них четыре – первого вида, по две – второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести одновременно взятых деталей три окажутся первого вида, две – второго и одна – третьего вида?

1.1.9. В группе 15 юношей и 10 девушек. По жребию выбирают 5 студентов. Какова вероятность того, что среди них окажутся две девушки?

1.1.10. Контролер ОТК, проверив 20 пальто, установил, что 16 из них первого сорта, а остальные – второго сорта. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу из этой партии 3 пальто одно будет второго сорта.

1.1.11. Собрание, на котором присутствует 25 человек, среди которых 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных 2 женщины и 1 мужчина?

1.1.12. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлекают 2 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных изделий:

а) одно окрашенное;

б) два окрашенных;

в) хотя бы одно окрашенное.

1.1.13. В урне имеются 8 черных и 5 белых шаров. Найти вероятность двукратного извлечения черного шара, если:

а) первый вынутый шар возвращают обратно в урну;

б) первый вынутый шар не возвращают в урну.

1.1.14. В урне 4 синих, 7 черных шаров. Случайным образом из урны извлекают сразу 2 шара. Какова вероятность того, что:

а) оба шара – синие;

б) оба шара – черные;

в) шары разного цвета;

г) шары одного цвета?

1.1.15. Среди 15 лампочек 4 – стандартные. Одновременно берут наудачу 2 лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них стандартная.

1.1.16. На электростанции 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену дежурят 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену будет занято не менее 2-х мужчин.