Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информати (стр. 9 из 16)
Тогда уравнение МВН в окончательном виде может быть записано
В этом уравнении не содержится слагаемых, содержащих производную 
на границе x=1, а краевое условие при x=1 является естественным. Параметры разрешающей системы алгебраических уравнений для рассматриваемой задачи принимают вид 
; 
.Используя метод Галеркина Wn = Nn и выбирая базисные функции в виде Nm =xmможно получить:
, 
.При М=2 из решения системы получаются следующие значения параметров am : a1=11.758 a2=3.458.
Cоответствующие значения
для точек x=0.5 и x=1.0, производной 
в точке x=1.0 и сравнения их с точными значениями приведены в таблице 2.3.Таблица 2.3
Результаты решения задачи на основе точного решения (ТР) и метода Галеркина (МГ) при М=2
| Функция | МГ | ТР |
 | 6.743 | 6.754 |
 | 15.216 | 15.232 |
 | 18.67 | 20.0 |
2.6. Общая формулировка естественных краевых условий для задач теплопроводности
Рассмотрим уравнение теплопроводности
T=T(xi), Q=Q(xi) – заданная функция координат xi, при граничных условиях
, ni – направляющие косинусы границы Г.Представим аппроксимацию решения этого уравнения в виде разложения по базисным функциям
, (2.27)где
.Для определения констант amиспользуем общую формулировку уравнения МВН
для
=1,2… 
(2.28)Первое слагаемое преобразуем с помощью формулы Остроградского-Гаусса
В результате уравнение МВН примет вид
Примем также 
. При этом 
. Таким образом, краевое условие на Гq становится естественным, а уравнение МВН приобретает вид 
. (2.29)Подставляя в (2.29) представление
в виде (2.27) получим[K]{
}=[R], 
, (2.30) 
.2.7. Применение МВН в задачах теории упругости
Рассмотрим применение МВН для решения задач теории упругости. Полный комплект уравнений, необходимых для решения задач теории упругости в перемещениях рассмотрен в первой главе и представлен соотношениями (1.1)−(1.21).
В отличие от рассмотренных выше задач теплопроводности для скалярных функций
, в задачах теории упругости искомая функция 
является векторной. Поэтому МВН в задачах теории упругости формулируется для системы уравнений, порядок которой определяется размерностью пространства 
решаемой задачи. Соответствующим образом скалярные базисные Nm и весовые Wn функции заменяются аналогичными векторными функциями 
и 
..Рассмотренные в первой главе уравнения можно непосредственно использовать для решения задачи в рамках МВН, однако оказывается более удобным преобразовать их к виду, приводящему к слабой формулировке МВН.
Запишем уравнения равновесия (1.12) и граниченые условия (1.1 и 1.13) для задач теории упругости в форме (2.24)МВН:
для
=1,2… 
(2.31)Первое слагаемое в этом уравнении можно привести к виду:
Положим
; 
; 
;Тогда
,т.е. условия на
- естественные краевые условия.В результате уравнение МВН в слабой формулировке может быть записано
n=1,2, . . . М (2.32)В матричной форме это уравнение можно представить в виде
(2.33) 
; 
В соответствии с обозначениями, принятыми в § 1.1 первой главы
; 
уравнение (2.33) примет вид
(2.34)Конкретный вид матриц
и 
приведен в § 1.1 первой главы.По аналогии с (2.27) положим
; (2.35) 
; 
; 
.Тогда уравнение МВН в окончательном виде может быть записано
(2.36)Таким образом, уравнение МВН для задач теории упругости может быть сведено к системе алгебраических уравнений относительно параметров аппроксимации искомых функций
: