МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
С.А. Капустин
Метод взвешенных невязок решения задач механики
деформируемых тел и теплопроводности
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией механико-математического
факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»
Нижний Новгород
2010
УДК 539.3 (075)
ББК В25 (Я73-4)
К20
К 20 Капустин С.А. МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ: учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2010. – 60 с.
Учебно-методическое пособие посвящено изложению основ наиболее известных методов дискретизации непрерывных задач, определенных соответствующими дифференциальными уравнениями, которые являются основой для построения широкого класса методов численного решения задач математической физики. В частности, рассмотрены метод конечных разностей и метод взвешенных невязок, объединяющий в своем составе ряд различных конкретных методов, таких как метод коллокации, метод Галеркина, метод конечных элементов и др.
Пособие рассчитано на студентов бакалавриата и магистратуры университетов по специальностям «Прикладная математика» и «Механика».
УДК 539.3 (075)
ББК В25 (Я73-4)
© Нижегородский государственный
Университет им. Н.И. Лобачевского, 2010
Содержание
1. Общая характеристика уравнений теории упругости и теплопроводности. Метод конечных разностей. 7
1.1. Уравнения теории упругости. 7
1.2. Уравнения теплопроводности. 10
1.3. Конечно-разностные аппроксимации производных. 12
1.4. Решение одномерных задач методом конечных разностей. 14
2. Метод взвешенных невязок с использованием базисных функций. 20
2.1. Аппроксимация функций с использованием систем базисных функций. 20
2.2. Основы метода взвешенных невязок. 22
2.3. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений. 25
2.4. Использование в МВН функций, не удовлетворяющих априори краевым условиям.. 28
2.5. Естественные краевые условия. 31
2.6. Общая формулировка естественных краевых условий для задач теплопроводности. 33
2.7. Применение МВН в задачах теории упругости. 34
3. Метод взвешенных невязок с кусочным определением базисных функций (метод конечных элементов) 37
3.1. Особенности задания базисных функций в методе конечных элементов (МКЭ) 37
4. Построение базисных координатных функций в МКЭ.. 45
4.1. Основные требования к координатным функциям в МКЭ.. 45
4.2. Построение базисных функций конечных элементов в обобщенных координатах. 45
4.3. Построение локальных систем координат. 48
4.4. Лагранжево семейство элементов. 50
4.5. Сирендипово семейство элементов. 52
4.6. Треугольные элементы.. 53
Уровень развития современной техники неразрывно связан с состоянием исследований в области механики и вычислительных методов, позволяющих осуществлять математическое моделирование реальных физических процессов. Поэтому количественные методы исследования таких процессов проникают в настоящее время практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся основным средством познания реальной действительности.
Количественное описание исследуемых процессов с использованием математических моделей обычно строится путем последовательной реализации двух основных этапов.
На первом этапе осуществляется математическая постановка решаемой задачи, заключающаяся в формулировке исходных дифференциальных уравнений, ограниченных определенной системой краевых и начальных условий. Далее требуется решить поставленную задачу для конкретных конфигураций исследуемых объектов, заданных свойств этих объектов, конкретных начальных и краевых условий.
Решение таких задач на основе современных аналитических методов обычно удается получить лишь для простейших систем уравнений, ограниченных видов конфигураций объектов и частных видов краевых условий. Кроме этого, применение аналитических методов не позволяет в должной мере использовать для решения задач постоянно растущие возможности современных ЭВМ.
Более перспективными в этом плане являются методы вычислительной математики, непосредственно ориентированные на применение ЭВМ и постоянно совершенствующиеся вместе с прогрессом в области вычислительной техники. На основе этих методов удается преобразовать исходную задачу к чисто алгебраической форме, для решения которой достаточно использовать только основные арифметические операции. Такие преобразования возможны на основе применения различных методов дискретизации непрерывных задач, определенных соответствующими дифференциальными уравнениями.
В результате дискретизации бесконечные множества чисел, определяющих неизвестные функции, аппроксимируются конечным числом параметров, а исходная непрерывная задача сводится к определению значений этих параметров.
К настоящему времени известно большое число различных методов дискретизации, отличающихся различными способами аппроксимации искомых функций и исходной непрерывной задачи.
Применительно к решению краевых задач математической физики, вопросам решения которых посвящен основной материал предлагаемого пособия, в настоящее время наибольшее распространение получили две наиболее известные группы методов дискретизации, существенно различных по своей основе, но, тем не менее, имеющих много общих черт.
Первую группу составляют конечно-разностные методы (МКР), имеющие в зависимости от постановки решаемых задач большое число различных модификаций.
В самых общих чертах суть МКР сводится к замене дифференциальных выражений в исходных дифференциальных уравнениях некоторой краевой задачи соответствующими конечно-разностными выражениями относительно значений искомых функций в узлах сеточной области. С этой целью исследуемая область покрывается системой сеточных линий. Действительная граница области заменяется сеточной границей таким образом, чтобы сеточные узлы наилучшим образом приближали истинную границу. В каждом узле области дифференциальные операторы краевой задачи заменяются соответствующими конечно-разностными операторами. При этом исходная краевая задача сводится к задаче решения системы алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в узлах сеточной области.
Вторая группа методов с общим названием “метод взвешенных невязок” (МВН) включает в себя широкий класс различных схем, в основу которых положено два, общих для всех конкретных схем, фактора:
- введение системы базисных функций, удовлетворяющих определенным условиям исходной задачи и используемых для аппроксимации искомых функций;
- построение метода определения параметров аппроксимации путем приравнивания нулю интеграла от невязки исходных уравнений, взятых с определенной системой весовых функций.
Выбирая различные варианты базисных функций, весовых функций, различные способы построения уравнений невязок для определения параметров аппроксимации искомых функций можно, получать различные варианты конкретных схем МВН.
Обычно базисные функции выбирают такими, чтобы для них выполнялись те или иные условия исходной краевой задачи, причем, для определения параметров этих функций, составляются уравнения невязок для оставшейся части невыполненных условий.
В частности, при использовании базисных функций, удовлетворяющих всем краевым условиям исходной задачи, для определения параметров этих функций составляется уравнение в виде равенства нулю интеграла по области от произведения невязки основного дифференциального оператора задачи на выбранную систему весовых функций. В результате в зависимости от выбора весовых функций могут быть получены соответствующие классические схемы МВН: метод моментов, методы коллокации, метод Галеркина и другие.
При выборе базисных функций, удовлетворяющих основному дифференциальному оператору внутри области, для определения неизвестных параметров составляется уравнение, содержащее интеграл по границе области от произведения невязки граничных условий на соответствующую систему весовых функций. Получаемые при этом конкретные схемы МВН соответствуют схеме метода граничных уравнений.
В классических вариантах МВН базисные функции задаются для всей области, что приводит к определенным трудностям при выборе самих функций и при численном решении таких задач. В частности известно, что с увеличением номера приближения в таких схемах существенно ухудшается обусловленность результирующей системы линейных алгебраических уравнений. Однако перечисленные трудности могут быть легко преодолимы путем использования локально определенных базисных функций, задаваемых на отдельных подобластях исследуемой области.