Текст программы 19 2 Результат работы программы 21 2 Пружина 22 2 Введение 22 (стр. 1 из 3)

ТОР (от лат. torus - выпуклость) – геометрическое тело, образуемое вращением окружности вокруг непересекающей его и лежащей в одной с ним плоскости прямой (Рис. 1).

Приблизительную форму тора имеет спасательный круг, баранка.

Рис. 1

1.1.2. Куб

Построить трехмерную модель куба с нормалями к граням и визуализировать её используя классы C++ для работы с векторами и преобразованиями: VECTOR и MATRIX.

КУБ (лат. cubus, от греч. kybos) – один из пяти типов правильных многогранников, правильный прямоугольный параллелепипед; имеет 6 квадратных граней, 12 ребер, 8 вершин, в каждой сходится 3 ребра (Рис.2).

Рис. 2

1.2. OpenGL

1.2.1. Поверхность

Поверхность задана формулой:

Z (x, y) = (sin x² + cos y² ) xy

Поверхность имеет такой вид (Рис. 3).

Рис. 3

1.2.2. Пружина

Пружина – модификация тора, получаемая из последнего путем распространения вдоль оси OZ, при этом большой радиус не меняется (Рис. 4).

Рис. 4

x = (R + r cos(f)) sin(k w),

y = (R + r cos(f)) cos(k w),

z = r sin(f) + k w,

где k – константа, определяющая шаг витков спирали по высоте. Углы f и w должны изменяться в полном круговом диапазоне, например от 0 до 360.

2. РЕШЕНИЕ

2.1. Классы C++: VECTOR и MATRIX

2.1.1. Тор

2.1.1.1. Введение

Строить тор будем, опираясь на его определение. Тор – геометрическое тело, образуемое вращением окружности вокруг непересекающей его и лежащей в одной с ним плоскости прямой.

То есть задача построения тора разбивается на две подзадачи:

1. Определение координат окружности;

2. Вращение окружности вокруг вектора w, находящегося в центре тора, при этом сохраняя координаты вращающейся окружности (Рис. 5).

Рис. 5

2.1.1.2. Решение

Базовую окружность строим в плоскости YOZ. Координаты окружности определяем с помощью формул перехода из полярной системы координат в декартовую, то есть в нашем случае:

y = r*cos φ;

z = r*sin φ.

Угол φ задаем формулой 2π/n, где n – число, определяющее сглаженность окружности, чем больше, тем лучше.

Вращение вокруг вектора w (0, 1, 0) реализуется с помощью матрицы поворота и функции Rotate () из класса Matrix. Координаты повернутой окружности получаем путем умножения матрицы поворота на вершины базовой окружности.

2.1.1.3. Текст программы

Tor_form.cpp

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include "TOR.h"

#include "TOR_form.h"

//------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

//------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

disp=new Display(300,350,700,700,0.05,0.05,Form1->Canvas);

tor=new Tor();

}

//------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Timer1Timer(TObject *Sender)

{

disp->Clear();

Vector v(1,1,2);

v=v/(!v);

Matrix A=Rotate(v,0.1);

tor->Transform(A);

tor->Show();

}

Tor.h

#define N 50 // количество окружностей в торе

#define n 20 // количество ребер в окружности

#define r 2 // радиус малого круга

#define R 7 // радиус тора

Display * disp;

class Tor

{

int i, j;

Vector Circle[n], Ver[N][n];

double fi;

public:

//--- Tor ---

Tor()

{

// определяем вершинки круга

fi = (2*M_PI)/n;

for (i=0; i<n; i++)

{

Circle[i] = Vector(0, r*cos(i*fi), r*sin(i*fi)+R);

}

// определяем вершины тора

fi = (2*M_PI)/N;

//вектор, вокруг которого происходит вращение окружности

Vector w(0, 1, 0);

w=w/(!w);

for (j=0; j<N; j++)

{

// поворачиваем окружность вокруг вектора w

Matrix B=Rotate(w, j*fi);

// записываем координаты вершин тора

for (i=0; i<n; i++)

{

Ver[j][i]=B*Circle[i];

}

//--- Show ---

void Show()

{

disp->MoveTo(Ver[0][0].x, Ver[0][0].y);

for (j=0; j<N; j++)

{

// рисуем кольца

for (i=0; i<n; i++)

{

disp->LineTo(Ver[j][i].x, Ver[j][i].y);

}

disp->LineTo(Ver[j][0].x, Ver[j][0].y);

// рисуем грани

if (j<N-1) {

for (i=0; i<n; i++)

{

disp->MoveTo(Ver[j][i].x, Ver[j][i].y);

disp->LineTo(Ver[j+1][i].x, Ver[j+1][i].y);

}

// рисуем окончательные грани

for (i=0; i<n; i++)

{

disp->MoveTo(Ver[N-1][i].x, Ver[N-1][i].y);

disp->LineTo(Ver[0][i].x, Ver[0][i].y);

}

//--- Transform ---

void Transform(Matrix & M)

{

for (j=0; j<N; j++)

for (i=0; i<n; i++)

{

Ver[j][i]=M*Ver[j][i];

}

Matrix M1=M;

M1.Invert();

M1.Transpose();

}

};

Disp.h

class Display

{

int x_org,y_org,W,H;

double dx,dy;

TCanvas * Canva;

public:

Display(int ax_org,

int ay_org,

int aW,

int aH,

double adx,

double ady,

TCanvas * aCanva)

{

x_org=ax_org;

y_org=ay_org;

W=aW;

H=aH;

dx=adx;

dy=ady;

Canva=aCanva;

};

int Convx2xs(double x)

{

int xs;

xs=x_org+x/dx;

return xs;

};

int Convy2ys(double y)

{

int ys;

ys=y_org+y/dy;

return ys;

};

void MoveTo(double x,double y)

{

Canva->MoveTo(Convx2xs(x),Convy2ys(y));

};

void LineTo(double x,double y)

{

Canva->LineTo(Convx2xs(x),Convy2ys(y));

};

void Clear()

{

Canva->Brush->Color=clWhite;

TRect rect;

rect.right=H;

rect.bottom=W;

rect.left=0;

rect.top=0;

Canva->FillRect(rect);

};

2.1.1.4. Результат работы программы

Результат работы программы рисования тора приведен на Рис. 6.

Рис.6

2.1.2. Куб

2.1.2.1. Введение

Строить куб будем, опираясь на его определение.

Куб – правильный прямоугольный параллелепипед; имеет 6 квадратных граней, 8 вершин и 12 ребер. К тому же необходимо к каждой грани построить нормаль, итого будет 6 нормалей.

Куб задаем с помощью вершин, на основе которых считаем нормали к граням. Для отображения куба удобно использовать грани, поэтому определяем координаты всех граней.

2.1.2.2. Решение

Все 8 вершин задаем вручную.

Нормали определяем так:

1. Берем два вектора лежащих в одной плоскости грани и исходящих из одной точки

Координаты этих векторов определяем так:

V1 (x1, y1, z1), V2(x2, y2, z2) – две вершины, тогда вектор, проходящий через эти точки равен

= (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

2. Находим

, векторное произведение векторов

= ( (a_y b_z – a_z b_y), (a_x b_z – a_z b_x), (a_x b_y – a_y b_x) )

┴

, значит

– нормаль к грани.