Методические рекомендации по выполнению расчетного задания по курсу «Основы автоматического управления» (стр. 3 из 3)
Рассмотрим некоторую автоматическую систему, в состав которой входит нелинейное звено, описываемое уравнением вида:
, (6)где
– выходная величина; 
– входная величина, изменяющаяся по синусоидальному закону;f – нелинейная функция.
Выполним гармоническую линеаризацию уравнения (6), которое
с учетом изменения входного сигнала по гармоническому закону
примет вид 
. (7)Разложим функцию
в ряд Фурье: 
(8)Введя новую переменную
, определим коэффициенты разложения 
, 
, 
, 
Предположим, что периодические колебания
имеют симметричный характер, то есть в разложении (8) отсутствует постоянная составляющая, а также пренебрежем в этом разложении в соответствии с приведенными выше соображениями второй, третьей и другими высшими гармониками. Тогда вместо равенства (8) приближенно получим: 
Учитывая, что 
и введя обозначения
, (9) 
, (10)получим приближенную запись сигнала на выходе нелинейного
звена [3]:
(11)Уравнение (11) представляет собой гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена автоматической системы. Другими словами, нелинейное уравнение (7) при гармонической линеаризации заменяется линейным уравнением (11), коэффициенты которого
зависят от амплитуды 
входного сигнала 
.К уравнению вида (11) могут быть отнесены, например, уравнения нелинейных звеньев, статические характеристики которых имеют петлю гистерезиса (рисунок 2). На рисунке 2 изображена характеристика нелинейного звена релейного типа с петлей гистерезиса. Наличие петли гистерезиса приводит к неоднозначной зависимости
от 
, при этом значение зависит не от величины, а от знака производной 
Применительно к характеристике на рисунке 2 при 
рабочей является правая ветвь характеристики, а при 
– левая ветвь. Второе слагаемое в правой части уравнения (11) учитывает указанную зависимость от знака производной 
Рисунок 2 – Нелинейное звено релейного типа
с петлей гистерезиса
Если статическая характеристика нелинейного звена является однозначной, то есть без петли гистерезиса (рисунок 3), то выходной сигнал звена не зависит ни от величины, ни от знака производной входного сигнала. В этом случае гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена примет вид
,где
определяется равенством (9). Коэффициент 
для таких нелинейностей равен нулю. 
Рисунок 3 – Нелинейное звено релейного типа
с идеальной статической характеристикой
Если выходной сигнал
нелинейного звена системы зависит не только от значения входного сигнала , но и от величины производной 
, то есть имеется нелинейность 
,то гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена примет вид [3]
,где
, 
.В этом случае коэффициенты гармонической линеаризации оказываются зависящими от амплитуды
и частоты 
синусоидального сигнала на входе нелинейного звена.3.1 Практическая часть
Осуществить гармоническую линеаризацию нелинейного уравнения для звена:
1) релейного типа с петлей гистерезиса (см. рисунок 2);
2) релейного типа с идеальной статической характеристикой (см. рисунок 3).
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с.
2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М: Наука, 1975. – 767 с.
3. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М: Высшая школа, 1971. – 807 с.
4. Каннингхэм, В. Введение в теорию нелинейных систем /
В. Каннингхэм. – М. – Л: Госэнергоиздат, 1962. – 456 с.
СОДЕРЖАНИЕ
| ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………… | 3 |
| 1 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ В ОКРЕСТНОСТИ СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ…...................................................................................... | 6 |
| 1.1 Практическая часть……………………………………… | 7 |
2 КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯНЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ……………………………. | 8 |
| 2.1 Практическая часть……………………………………… | 10 |
| 3 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ……………………….. | 11 |
| 3.1 Практическая часть…………………..…………………. | 15 |
| СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………. | 16 |
Учебное издание
Гареева Рената Гегелевна
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
Методические рекомендации по выполнению
расчетного задания
по курсу «Основы автоматического управления»
Редактор Малыгина И.В.
Технический редактор Малыгина Ю.Н.
Подписано в печать 19.05.09. Формат 60´84 1/16
Усл. п. л. 1,05. Уч.-изд. л. 1,13
Печать – ризография, множительно-копировальный
аппарат «RISO TR -1510»
Тираж 60 экз. Заказ 2009-46
Издательство Алтайского государственного
технического университета
656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46
Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ
Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ
659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27