работа по статистике на тему: «14. Виды рядов распределения. 24. Мода и медиана.» (стр. 2 из 4)

Мо = хо + f_Mo- fMo - 1 • i,

(/Мо - f_mo-₁) + (/Мо - fMo+ 1)

где хо - нижняя граница модального интервала; fMo - частота в модальном интервале;

fMo - 1 - частота в предыдущем интервале;

fMo + 1 - частота в следующем интервале за модальным; i - величина интервала.

Вычисление моды в интервальном ряду весьма условно.

Приближенно Мо может быть определена графически .

В равно интервальном ряду при расчете моды следует использовать плотность распределения.

К изучению структуры вариационного ряда средняя арифметическая величина тоже имеет отношение, хотя основное значение этого обобщающего показателя другое.

24.2. Медиана.

При изучении вариации применяются такие характеристики вариационного ряда, которые описывают количественно его структуру, строение. Такова, например, медиана - величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части - со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. На примере этих данных видно принципиальное различие между медианой и средней величиной. Медиана не зависит от значений признака на краях ранжированного ряда. Если бы капитал крупнейшего банка Санкт-Петербурга был в десять раз больше, величина медианы не изменилась бы. Поэтому часто медиану используют как более надежный показатель типичного значения признака, нежели арифметическая средняя, если ряд значений неоднороден, включает резкие отклонения от средней. В данном ряду средняя величина собственного капитала равна 394 млн руб., сложилась под влиянием наибольшей варианты. 80% банков имеют капитал меньше среднего и лишь 20% - больше. Вряд ли такую среднюю можно считать типичной величиной. При четном числе единиц совокупности за медиану принимают арифметическую среднюю величину из двух центральных вариант, например при 10 значениях признака - среднюю из пятого и шестого значений в ранжированном ряду.

В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется формула

Ме = Х_е+ fi...L (~ - fMe - 1) ,

Ме где Ме - медиана;

Х_е- нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

п - число наблюдений; .

!Ме -\ - накопленная частота в интервале, предшествующем медиан-

ному;

fMe - частота в медианном интервале; j - величина интервала.

Например, если имеется 100 наблюдений, то медианными,

Т.е. стоящими в середине ряда, являются: 100,,+ 1= 50,5 - 50-я

и 51-я единицы. В нашем примере имеется нечетное число значений: 143_+1= 72, Т.е. в середине ряда находится 72-е от

начала ряда значение урожайности. Как видно из ряда накопленных частот , оно находится в четвертом интервале. Тогда

Ме = 25 + 724135 . 5 = 29,5 цjгa.

При нечетном числе единиц совокупности номер медианы, как видим, равен не 'Lfj: 2, а ('Lfj + 1) : 2, но это различие несущественно и обычно игнорируется на практике.

В равно интервальном ряду медиана - это середина среднего интервала при их нечетном числе или средняя арифметическая из границ двух средних интервалов при их четном числе.

В дискретном вариационном ряду медианой следует считать значение признака в той группе, в которой накопленная частота превышает половину численности совокупности. Например, для данных табл. 5.1 медианой числа забитых за игру мячей будет два.

24.3. Соотношение между средней величиной, медианой и модой.

Различие между средней арифметической величиной, медианой и модой в данном распределении невелико. Если распределение по форме близко к нормальному закону, то медиана находится между модой и средней величиной, причем ближе к средней, чем к моде.

При правосторонней асимметрии х > Ме > Мо; при левосторонней асимметрии х < Ме < Мо.

Me=230 + 10 * ((51,5 – 32)/26)=237,5=Mo

Для умеренно асимметричных распределений справедливо равенство: IMo - хl = 31Ме - xl.

Глава 2. Расчётная часть.

2.1 Задача №1

Выполнить расчёт средней выработки на одного рабочего в бригаде из 12 человек.

Выработка каждого рабочего представлена в следующей таблице:

Выработка одного рабочего деталей, штук
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
20	18	22	15	27	16	14	28	21	25	17	19

Решение:

Определим среднюю выработку по формуле средней арифметической:

__ ∑ Xi

Х = --------------

X = (20+18+22+15+27+16+14+28+21+25+17+19)/12 = 242/12 = 20,1(6) (штук)

2.2 Задача №2

Определить среднюю трудоёмкость работ по производству деталей.

Трудоёмкость одной детали, чел.час	5	7	9	4	8	12	14
Объём производства деталей, штук	30	15	35	27	29	30	34

Решение:

Для решения используем формулу средней арифметической взвешенной:

__ ∑ X_i*n_i

Х = --------------

∑ n_i

Х = (5*30+7*15+9*35+4*27+8*29+12*30+14*34)/ (30+15+35+27+29+30+34) = 1746/200 = 8,73 (мин.)

2.3 Задача №3

Определить среднюю выработку рабочего на предприятии. Известно, что норма на одного рабочего в смену составляет 20 деталей.

Удельный вес рабочих предприятия, %	74	15	3	4	2	1	1
Выполнение норма выработки рабочими предприятия (%)	100	95	90	85	80	75	70

Решение:

__ ∑ X_i*n_i

Х = --------------

100%

Х=(74*100+15*95+3*90+4*85+2*80+1*75+1*70)/100= 95,8 (%)

Х=0,958*20=19,16 (деталей)

2.4 Задача №4

Определить среднее время обработки одной детали в бригаде из 9 человек. Определить сколько деталей будет изготовлено бригадой за 8 часовой рабочий день по индивидуальным нормам выработки с использованием полученной средней величины затрат времени на изготовление одной детали членом бригады.

Число рабочих, чел.	2	3	1	1	1	1
Время обработки одной детали, мин.	3	4	5	6	7	8

Решение:

1) Используем формулу средней гармонической величины:

__ ∑ n

Х = --------------

∑ n/х

X= 9/(2/3 + ¾ + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) ~ 4.56 (мин)

Тогда общее количество деталей, изготовленных бригадой из 9 человек за 8 часов, будет равно (480/4,88)*9 ~ 947,34 (дет).

2) Находим сколько деталей за 8 часов сделает каждый рабочий:

X₁ = 480/3 = 160 шт; X₂ = 480/3 = 160 шт; X₃ = 480/4 = 120 шт; X₄ = 480/4 = 120 шт; X₅ = 480/4 = 120 шт X₆ = 480/5 = 96 шт; X₇ = 480/6 = 80 шт; X₈ = 480/7 = 68,6 шт; X₉ = 480/8 = 60 шт;.

Просуммировав эти результаты, получаем, что вся бригада за 8 часов сделает:

Х = 160 +160 + 120*3 + 96 + 80 + 68,6 + 60 = 984,6 шт.

2.5 Задача №5

Определить средний коэффициент роста для динамического ряда данных об объёме выпуска продукции за 5 лет. Показать расчётно, что полученная средняя соответствует данным динамического ряда.

Год	1996	1997	1998	1999	2000
Объём выпуска продукции, млн. руб	3	24	60	120	156

Решение:

Используем формулу средней геометрической:

___________

Х = ⁿ^-1√X₁*X₂*…*X_n

X = ⁴√(24/3)(60/24)(120/60)(156/120) = ⁴√52 ~ 2,68

Проверка: 4*2,68*2,68*2,68*2,68 ~ 206 => средний коэффициент роста не равен 2,68.

2.6 Задача №6

Определить Моду и Медиану для распределения рабочих сдельщиков по нормам выработки.

Выполнение норм выработки рабочими, %	100-110	110-120	120-130	130-140	140-150	150-160	160-170	170-180	180-190
Численность рабочих сдельщиков	12	19	37	47	45	22	11	6	2
Сумма накопленных частот	4	10	23	47	69	80	86	88	89

Решение: