Факультет: Кибернетики Кафедра: Биомедицинская Электроника работа “Расчёт асцитной гепатомы Зайдела” Дисциплина: “Моделирование в медицине” (стр. 1 из 2)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТУ)

Факультет: Кибернетики

Кафедра: Биомедицинская Электроника

КУРСОВАЯ РАБОТА

“Расчёт асцитной гепатомы Зайдела”

Дисциплина: “Моделирование в медицине”

Работу выполнил студент группы КМ-1-хх:

ФИО _______________________

Проверил преподаватель:

Бабушкина Нина Александровна ______________________

МОСКВА 200х

Содержание

Титульный лист…………………………………………………………………………………1

Содержание……………………………………………………………………………………...2

Введение…………………………………………………………………………………………3

1. Заболевание…………………………………………………………………………………..3

2. Аппроксимация исходных данных…………………………………………………………..3

2.1. Подбор аппроксимирующей функции…………………………………………………….3

2.2. Подбор коэффициентов функции ПК……………………………………………………..3

2.3. Выбор функции, обеспечивающей наилучшую аппроксимацию исходных данных…..4

2.4. Аналитический расчёт коэффициентов методом наименьших квадратов……………...5

2.4.1. Метод наименьших квадратов…………………………………………………………...5

2.4.2. Расчёт коэффициентов степенной функции……………………………………………6

2.5. Расчёт коэффициентов итерационным методом Ньютона……………………………….7

2.5.1 Алгоритм метода Ньютона………………………………………………………………..7

2.5.2 Расчёт коэффициентов степенной функции методом Ньютона………………………..8

2.6. Результаты………………………………………………………………………………….10

3. Расчёт биологических параметров………………………………………………………….10

3.1. Время жизни организма без лечения и запас жизненных сил…………………………..10

3.2. Дозовая зависимость…………………………………...…………………………………..11

3.3. Расчёт времени жизни организма после курса лечения…………………………………12

Результаты………………………………………………………………………………………13

Список литературы……………………………………………………………………………..14

Введение

Необходимо рассчитать время жизни организма с асцитной гепатомой Зайдела при следующих исходных данных:

Количество введения доз препарата: 2 раза

Вводимая доза: D=0.8 МПД

Задержка введения доз:

суток

1. Заболевание

Гепатома (Hepatoma) - злокачественная опухоль печени, развивающаяся из зрелых клеток печени. В странах Запада у людей со здоровой печенью этот вид опухоли встречается крайне редко, однако она часто развивается у больных, страдающих циррозом печени, особенно после перенесенного ими гепатита В. В странах Африки и других тропических странах гепатома распространена достаточно широко. Возможными причинами ее развития являются плесени и различные токсические вещества, которые могут попасть в пищеварительный тракт человека. Гепатомы часто синтезируют альфафетопротеин, наличие которого в крови является убедительным свидетельством развития в организме гепатомы.

Асцитная гепатома Зайдела (ascite Zajdel hepatoma) – заболевание животных. Обычно её прививают специально в исследовательских целях.

2. Аппроксимация исходных данных.

2.1. Подбор аппроксимирующей функции

Визуальный анализ данных позволяет предположить, что исходные данные можно аппроксимировать экспоненциальной или степенной функцией.

Экспоненциальная функция:

(2.1)

Степенная функция:

(2.2)

2.2. Подбор коэффициентов функции ПК

Подбор коэффициентов производился в пакете MathCAD 2001 с помощью функции genfit(), которая работает по итерационному методу градиентного спуска.

Экспоненциальная:

(2.3)

Степенная функция:

(2.4)

Рис. 2.1. Аппроксимация исходных данных экспоненциальной и степенной функциями

2.3. Выбор функции, обеспечивающей наилучшую аппроксимацию исходных данных.

Чтобы выбрать функцию, обеспечивающую наилучшую аппроксимацию исходных данных, необходимо просчитать коэффициент корреляции Пирсона R.

, где (2.5)

N(t) – исходные данные
G(t) – аппроксимирующая функция

(2.6) - средние значения популяции опухоли, рассчитанное по исходным данным.

(2.7) - средние значения популяции опухоли, рассчитанное по аппроксимированным данным..

Коэффициент корреляции показывает статистическую связь между выборками. Он может принимать значения между -1 и +1, причём если значение находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0, то слабой. Если коэффициент корреляции отрицательный, это означает наличие противоположной связи: чем выше значение одной переменной, тем ниже значение другой.

Для полученной экспоненциальной функции (2.3) коэффициент корреляции R₁ по (2.5) равен:

R₁ = 0.99654

Для полученной степенной функции (2.4) коэффициент корреляции R₂ по (2.5) равен:

R₂ = 0.99907

R₂ > R₁, следовательно, степенная функция лучше аппроксимирует исходные данные.

2.4. Аналитический расчёт коэффициентов методом наименьших квадратов

2.4.1. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Метод наименьших квадратов применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.[1]

Метода наименьших квадратов гласит, что после подстановки в начальные уравнения неизвестных величин, выведенных этим способом, в правых частях уравнений получаются если и не нули, то небольшие величины, сумма квадратов которых оказывается меньшей, чем сумма квадратов подобных же остатков, после подстановки каких бы то ни было других значений неизвестных. Помимо этого, решение уравнений по способу наименьших квадратов даёт возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, то есть даёт величины, по которым судят о степени точности выводов.

Пусть дано решить систему уравнений, число которых более числа неизвестных x, у, z…

ax + by + cz… + n = 0

a₁x + b₁y + c₁z… + n₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂z… + n₂ = 0 (2.8)

…

Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной х и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной у и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т. д. Если означить для краткости:

[aa] = a₁a₁ + a₂a₂ +…

[ab] = a₁b₁ + a₂b₂ +…

[ac] = a₁c₁ + a₂c₂ +… (2.9)

…

[bb] = b₁b₁ + b₂b₂ +…

[bc] = b₁c₁ + b₂c₂ +…

…

то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:

[aa]x + [ab]y + [ac]z +… [an] = 0

[ab]x + [bb]y + [bc]z +… [bn] = 0 (2.10)

[ac]x + [bc]y + [cc]z +… [cn] = 0

Число этих уравнений равно числу неизвестных и легко решается.

2.4.2. Расчёт коэффициентов степенной функции

Линеаризуем степенную функцию:

(2.11)

Линеаризуем исходные данные:

В соответствии с п.2.4.1 переназначим переменные:

Тогда исходные данные можно записать в форме (2.8):

a₁x + y + n₁ = 0

a₂x + y + n₂ = 0

a₃x + y + n₃ = 0

a₄x + y + n₄ = 0

a₅x + y + n₅ = 0

0.69x + y - 1.1 = 0

1.1x + y - 2.83 = 0

1.39x + y – 3.9 = 0

1.61x + y - 5 = 0

1.79x + y – 5.7 = 0

[aa] = a₁a₁ + a₂a₂ +…+ a₅a₅ = 9.41

[ab] = a₁b₁ + a₂b₂ +…+ a₅b₅ = 6.58

[an] = a₁n₁ + a₂n₂ +… + a₅n₅ = -27.62

[bb] = b₁b₁ + b₂b₂ +…+ b₅b₅ = 5

[bn] = b₁n₁ + b₂n₂ +…+ b₅n₅ = -18.63

Следовательно, нормальные уравнения записываются по форме (2.10) так:

[aa]x + [ab]y + [an] = 0

[ab]x + [bb]y + [bn] = 0

9.41x + 6.58y – 27.62 = 0