работа дисциплина: «Теория инвестиций» Тема: «Модели оценки опционов, их роль в инвестиционном анализе» (стр. 7 из 8)

В основе формулы лежит предположение, что существует такая экономическая среда, в которой арбитражеры могут с точностью воспроизвести будущие доходы по опциону покупателя с помощью хеджированного портфеля, состоящего из акций и облигаций.

Модель Блэка - Шоулза основана на предположении о том, что будущая доходность акций имеет логарифмически нормальное распределение с постоянным среднеквадратическим отклонением — и это все, что говорится о доходности обыкновенных акций. Ожидаемая доходность их в этой модели влияет на цену опциона только опосредованно, через цену акций.

Расчет стоимости опциона осуществляется по формуле Блэка—Шоулза, разработанной для оценки финансовых опционов типа «колл»:

Где:

– интеграл ошибок (вероятности);

S — текущая рыночная стоимость акций.

S₀ – цена исполнения;

- годовая безрисковая сила роста;

Т – время истечения опциона в годах;

- стандартное годовое отклонение цены акции

Для расчета цены европейского опциона «пут» используется формула:

Из анализа этой формулы следует, что цена опциона тем выше, чем:

• текущая рыночная цена акции (S);
• больше времени до истечения срока опциона (Т);
• больше риск .

Следовательно, для повышения инвестиционной привлекательности проекта компаниям целесообразнее сосредоточиться на увеличении доходов, а не на снижении расходов.

Основные трудности, которые могут возникнуть при применении этой модели, связаны с получением достоверных исходных данных, необходимых для расчета (время до реализации заложенных в проекте возможностей, значение дисперсии и т. д.).

Следовательно, формула Блэка - Шоулза подходит для оценки простых опционов, имеющих единственный источник неопределенности и единственную дату решения.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что модель Блэка - Шоулза и биномиальная модель математически эквивалентны. Но поскольку при традиционном экономическом анализе используется такая модель, как «дерево принятия решений», то биномиальная модель представляется нагляднее и проще для применения. Основной ее недостаток - громоздкость расчетов и вычислений, но вместе с тем она позволяет учесть все дополнительные факторы и сценарии развития проекта.

II Практическая часть

Задача 5

Коммерческий банк предлагает сберегательные сертификаты номиналом 500 000 со сроком погашения через 5 лет и ставкой доходности 50% годовых. Банк обязуется выплатить через 5 лет сумму в 2,5 млн. руб.

Проведите анализ эффективности данной операции для вкладчика.

Решение:

Дано:

n = 5

N = 500 000

r = 0,5

FV = 2 500 000

Найдем приведенную стоимость через 5 лет

PV = FV/ (1+r)⁵

PV= 2 500 000/ (1+0,5)⁵ = 2 500 000/ 7,59 = 329 380,76

Ответ: Номинальная стоимость сертификата 500 000 рублей, но справедливая стоимость сертификата при ставке доходности 50% годовых составляет 329 380,76 рублей, таким образом, для вкладчика такая операция с сертификатом не эффективна.

Задача 9

Стоимость акции «Ш» на конец текущего года составила 22,00. Ожидается, что в течение следующих 5 лет будут осуществлены следующие дивидендные выплаты.

год	1	2	3	4	5
Сумма D	1.00	1.20	1.10	1.30	1.25

Определите цену, по которой акция может быть продана в конце 5-го года, если норма доходности равна: 1)10%; 2)15%.

Решение:

Подставим данные значения в формулу приведенной стоимости, стоимость акций равна 22:

_{5 ∞}

PV = ∑ D/ (1+r)^t = ∑ Dt/ (1+r)^t + ∑ D/ (1+r)^t = 22

^{t=1 t=6}

Примем данное слагаемое за Х.

_∞

∑ D/(1+r)^t = X.

^t=6

Вариант 1): Если норма доходности: r = 0,1

Х = PV - ∑ Dt/(1+r)^t = 22 – (1/ (1+0,1)¹ + 1,20/ (1+0,1)² + 1,10/ (1+0,1)³ + +1,30/(1+0,1)⁴ + 1,25/ (1+0,1)⁵ ) = 22 - (0,91+0,99+0,83+0,89+0,77) = 22 - 4,39 = 17,61

Вариант 2): r = 0,15

Х = PV - ∑ Dt/ (1+r)^t = 22 – (1/ (1+0,15)¹ + 1,20/ (1+0,15)² + 1,10/ (1+0,15)³ + 1,30/(1+0,15)⁴ +1,25/(1+0,15)⁵ ) = 22 - (0,87+0,91+0,72+0,74+0,62) = 22 - 3,86 = 18,14

Ответ: Цена, по которой акция может быть продана в конце 5-го года при норме доходности 10%, составит 17,61, а при норме доходности 15% - 18,14.

Задача 13

Имеются следующие данные о риске и доходности акций А, В и С.

Акция	Доходность	Риск (gi)	Ковариация
А	0,05	0,1	σ12 = - 0,1
В	0,07	0,4	σ13 = 0,0
С	0,3	0,7	σ23 = 0,3

Сформируйте оптимальный портфель при условии, что максимально допустимый риск для инвестора не должен превышать 14%.

Расчет данной задачи произведен с помощью программы MS EXСEL. Для этого использована функция «Поиск решения» (рис. 1).

Введены ограничения:

1. Ограничение суммы весов = 1;

2. Ограничение на каждый вес (w) ≥ 0, ≤ 1;

3. Ограничение на дисперсию портфеля = 0,14

Рис. 1

Ответ: Доходность портфеля = 0,182574

Состав портфеля: А – 0,469706

В – 0,0

С – 0,530294

Задача 20

Вы являетесь менеджером пенсионного фонда, которую должен будет выплатить своим клиентам 1 000 000 через 10 лет. В настоящие время на рынке имеются только два вида финансовых инструментов: бескупонная облигация со сроком погашения через 5 лет и 100-летняя облигация со ставкой купона 5% годовых. Рыночная ставка равна 5 %.

В каких пропорциях вы распределите имеющиеся средства между данными инструментами, чтобы хеджировать обязательство фонда?

Подсказка: (дюрация портфеля равна средней взвешенной из дюрации входящих в него активов).

Решение:

Пусть х и y – соответственно количество составляющих бескупонных акций и 100-летних облигаций с купоном (100-летнюю облигацию рассматриваем как бессрочную).

Пусть их номинальная стоимость равна 100.

Рассчитаем текущую стоимость каждой из облигаций:

V₁ = N/(1+r)ⁿ = 100/(1+0,05)⁵ = 78,35

100-летняя облигация с купоном:

V₂ = N*k/r = 100*0,05/0,05 = 100

N = 100 – номинал облигации

r = 5% /100 = 0,05 – рыночная ставка

n = 5 – срок действия облигации

Текущая стоимость портфеля равна:

V_p =x*V₁ + y*V₂ = 78,35x+100y

Текущая стоимость долга равна:

V_d = долг/ (1+r)ⁿ = 1000000/(1+0,05)⁵ = 613913

Рассчитаем дюрацию каждой облигации:

5-летняя бескупонная облигация:

D₁ = n = 5

100-летняя облигация с купоном:

D ₂ = 1/r = 1/0,05 = 20

Дюракция портфеля равна:

D_p = x*D₁ + y*D₂ / x + y = 5x+20y / x+y

Дюрация долга равна:

D_d = 10

Так как существуют правила:

1. Текущая стоимость актива текущей стоимости долга: V_p = V_d

2. Дюрация актива равна дюрации долга: D_p = D_d

Исходя из этого правила, нужно решить следующую систему уравнений:

78,35x + 100y = 613913,

5x+20y / x +y = 10

Решив эту систему, получаем (с учетом округления до целых):

x = 4783 или 78,35*4783\613913 * 100% = 61%;

y = 2392 или 100*2392\613913 *100% = 39%.

Ответ: необходимо приобрести по текущей стоимости 4783 пятилетних бескупонных акций и 2392 столетних облигаций с купоном, что составляет 61% и 39% соответственно денежных средств. В этом случае удастся прохеджировать обязательства фонда.

Задача 24

Брокер Н заметил, что спрос вырос, и повысил цену на свой портфель с 60 до 75.

А). Приостановит ли свои действия инвестор после повышения цены?

Б). Что он должен предпринять, чтобы по-прежнему извлекать арбитражную прибыль?

В). До какого уровня брокер Н должен был бы повысить свою цену, чтобы на рынке исчезла возможность арбитража?

Решение:

Если брокер повысит цену на свой портфель с 60 до 75, то таблица в задаче 23 примет вид:

Инструмент Брокер	Д	А	Цена за портфель
К	3	1	80
Н	2	2	75
М	5	7	185

Суммарная стоимость портфелей брокеров К и М равна:

1). 80+185 = 265.

Объединение этих портфелей составляет:

2). 3+5=8 акций Д и 3). 1+7=8 акций А, т.е. это - 4 портфеля Н, которые стоят в свою очередь:

4). 4*75=300.

Для арбитража инвестор должен купить портфель акций у брокера К и М, объединить эти портфели и продать их брокеру Н.