Методические рекомендации Екатеринбург 2007 Министерство образования и науки Российской Фед ерации (стр. 6 из 11)
Согласно «Государственному образовательному стандарту образования в период детства, основного общего и среднего (полного) общего образования Свердловской области» от ОЗ.М.1999 № 897-ПП учащиеся должны
Знать:
- определения видов квадратных уравнений (полное, неполное, приведенное); формулы решения квадратных уравнений;
- общие методы и обобщенные приемы решения и проверки квадратных уравнений;
- способы записи квадратных уравнений;
- общий прием решения текстовых задач методом квадратных уравнений.
Уметь:
- решать неполные квадратные уравнения;
- решать полные квадратные уравнения стандартного вида по формуле и его случаи;
- решать приведенные и не приведенные квадратные уравнения по теореме Виета;
- решать системы уравнений 2-й степени способом подстановки и сложения;
- решать задачи с помощью составления уравнений 1'-й. и 2-й степени и их систем;
- решать дробно-рациональные уравнения;
- выбрать нужный, рациональный способ решения квадратного уравнения.
4.3. Логико-математический анализ изучаемой темы
Логический анализ темы сводится к установлению логической организации учебного материала в теме, выяснению, какие утверждения доказываются, какие вводятся как иллюстрированные факты, определению уровня логической строгости доказательств, методов используемых для доказательств, выделению новых теоретических утверждений, которые вводятся при решении математических задач.
Математический анализ темы сводится к выяснению основной математической идеи темы, выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, осмыслению применяемых в теме математических приемов и методов.
Результатом выполнения логико-математического анализа является определение «ядерного» материала темы, логической строгости его изучения и математических методов и приемов изучения этого материала.
Пример: логико-математический анализ темы «Неравенства».
Материал темы организован на дедуктивно-индуктивной основе, так как дано определение понятий «больше», «меньше»; свойства числовых неравенств сформулированы в виде теорем, которые доказаны; сформулированные теоремы равносильности (названные свойствами) не доказываются. Анализ решений линейных неравенств с одной переменной и их систем, позволяют учителю сделать обобщение и сформулировать алгоритмы, таким образом алгоритмы вводятся индуктивно. Структура вводимых определений (решения неравенств, равносильных неравенств, решения системы неравенств) одинакова, следовательно, их изучение осуществляется по одному плану, на уровне теоретического обобщения. Теоремы о свойствах неравенств имеют одну и ту же структуру: A^ B=> C, что позволяет осуществлять перенос знаний, так как с теоремами такой структуры учащиеся уже работали.
Вводятся понятия строгого и нестрогого неравенств, линейного неравенства, системы неравенств.
«Ядерным» материалом темы являются:
· понятия «больше», «меньше», неравенства, решение неравенства, решение системы неравенств, равносильных неравенств;
· свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;
· операции над числовыми неравенствами;
· алгоритмы решения неравенств с одной переменной и решения системы неравенств;
· прием доказательства неравенств и прием выяснения возрастания, убывания функции.
Изложение материала опирается на алгебраические операции, тождественные преобразования, понятие координатной прямой, законы арифметических действий.
При доказательстве свойства числовых неравенств используют логические правила, определения «больше», «меньше». При изучении темы могут быть выбраны следующие методы: объяснительно-иллюстративный, проблемного изложения (например решения системы неравенств с одной переменной), а так же частично поисковый.
4.4. Анализ задачного материала
Анализ задачного материала выполняется на основе логико-математического анализа теоретического материала темы.
При анализе математических задач необходимо:
1. Определить какие задачи способствуют раскрытию, конкретизации, углублению «ядерного» материала, основного, объявленного как обязательного в стандарте общеобразовательной школы.
2. Выделить задачи на работу с «опорным» материалом, т.е. базовым, исходным для получения нового знания.
3. Выделить задачи на «вспомогательный» материал – дополнительный, иллюстративный, раскрывающий межпредметные связи и практические аспекты.
4. Выделить нестандартные, творческие задачи.
При отборе задачного материала в каждой группе задач предусмотреть задачи для организации дифференцированной работы с учащимися
4.5. Реализация внутрипредметных связей
Реализация внутрипредметных связей в обучающей деятельности учителя заключается в отборе материала, который представляет эти связи, в выборе организационных форм, методов и приемов обучения, направленных на наиболее успешное усвоение этого материала.
При реализации внутрипредметных связей в процессе обучения следует учитывать тот факт, что связи могут быть логико-математического и методического характера.
Логико-математические связи – это необходимые глубокие связи, вытекающие из логики и содержания учебного предмета; на их основе строится изучение материала.
Методические связи выполняют чисто дидактические функции, они приводятся с целью иллюстрации, сравнения, сопоставления и т.д. Эти связи реализуются учителем в процессе адаптации учебного материала к индивидуальным и возрастным особенностям учащихся.
В рамках отчетности необходимо проиллюстрировать внутрипредметные связи логико-математического характера.
Реализацию внутрипредметных связей логико-математического характера можно представить в виде схемы, или проиллюстрировать на задачном материале.
Для иллюстрации логико-математических связей на задачном материале, необходимо:
1.Выделить основные виды задач, решаемые в данной теме.
2.Выбрать одну из задач и проиллюстрировать на ее примере реализацию внутрипредметных логико-математических связей.
Например:
1. Логико-математические связи «понятия» квадратный трехчлен.
2. Выявление логико-математических связе при изучении темы: «Перпендикулярность прямых и плоскостей» решаются следующие задачи: на использование признаков перпендикулярности прямой и плоскости; на построение прямой перпендикулярной плоскости; на нахождение угла между прямой и плоскостью; на построение плоскости перпендикулярной данной прямой; на построение плоскости перпендикулярной другой плоскости; на построение отрезка равного расстоянию от точки до плоскости; на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми и.т.
Решение всех этих задач, требует умения правильно строить чертеж фигуры и ее элементов. Все элементы пространственной фигуры связаны между собой какими–то соотношениями, умение их найти, выразить неизвестные величины через, возможно, одну-единственную известную величину, требует установления внутрипредметных связей логико-математического характера.
Например:
Реализация внутрипредметных связей логико-математического характера при решении задачи на нахождение расстояния между прямой и плоскостью.
Чтобы ответить на вопросы задач, на нахождение расстояния между прямыми и плоскостями, надо уметь пользоваться свойствами прямых и плоскостей в пространстве, свойствами фигур на плоскости, знать тригонометрические формулы и уметь ими пользоваться, решать квадратные уравнения и многое другое.
Задача:
Дана правильная призма ABCA1B1C1D1. D и С2 – середины ребер ВС и СС1, АВ = АА1 = а. Найдите расстояние до точки пересечения прямой A1D с плоскостью АВС2 от точки А1.
При решении данной задачи на этапе построения точки P включаются следующие внутрипредметные логико-математические связи из курса стереометрии: свойство правильной призмы, свойства параллельных плоскостей, построение линии пересечения двух плоскостей. При нахождении расстояния А1Р включаются внутрипредметные связи из курса планиметрии – свойства подобных треугольников, свойство средней линии треугольника, теорема Пифагора
Решение. Так как призма правильная, то в основании лежит правильный треугольник и она прямая. Построим точку пересечения прямой A1D с плоскостью АВС2. С этой целью построим вспомогательное сечение призмы какой- нибудь плоскостью, проходящей через прямую A1D. Эта плоскость пересекает верхнее основание призмы по прямой А1D½½AD (по свойству параллельных плоскостей), линией пересечения этого сечения AА1D1D и плоскости ABC2 является AD2, D1D Ç ВС2 = D2. Тогда А1D и AD2 лежат в одной плоскости и А1D Ç AD2 = P. Точка P искомая.
Теперь можно перейти к вычислениям.
Отрезок А1Р, длина которого искомая, включен в треугольник АА1Р. при этом ясно, что DD1½½ AA1. тогда треугольник АА1Р ~ DD2P, тогда
. Так как АА1 = а и DD2 – средняя линия треугольника ВСС2. То есть DD2 = ½ * 
B1 D1 C1A1
C2
D2
P
B D C
A
CC2 = a/4, то
. Тогда А1Р:А1D = 4:5, из прямоугольного треугольника А1АD 
. В итоге получим А1Р = 
. Что и требовалось вычислить.